【数学二】一元函数微分学- 利用微分的概念、定理、几何含义求解

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数$f(x)$具有二阶导数当$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时，$f(x)$的图形是凹的;当 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时,$f(X)$的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

微分的概念及几何意义

微分的概念

定义（微分） 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果函数的增量$△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$可以表示为$$△y=A△x+\circ (△x)，（△x\to 0）$$
其中A为不依赖于$△x$的常数，$\circ (△x)$ 是$△x$的高阶无穷小，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微，并称$△y$ 的线性主部$A△x$ 为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的微分，记作$dy,df(x)$，即$dy=A△x$

定理 函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在$x_0$处可导，且有$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)△x=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$ 在点$x$处，常记$dy=f^{{}^{\prime }}(x)dx$

TIPS：
1 、函数$y=f(x)的微分dy=f^{{}^{\prime }}(x)dx，等于函数的导数f^{{}^{\prime }}(x)乘以自变量的微分dx$
2、若函数$y=f(x)$在$x_0$点可微，则函数的增量$△y$与函数的微分$dy$之间满足$△y=dy+\circ (△x)$

练习1：设函数$y=f(x)在x=x_0$处可微，$△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$ ，则当$△x\to 0$ 时，必有？

知识点:
1、定义（微分） 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果函数的增量$△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$可以表示为$$△y=A△x+\circ (△x)，（△x\to 0）$$
其中A为不依赖于$△x$的常数，$\circ (△x)$ 是$△x$的高阶无穷小，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微，并称$△y$ 的线性主部$A△x$ 为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的微分，记作$dy,df(x)$，即$dy=A△x$
2、若函数$y=f(x)$在$x_0$点可微，则函数的增量$△y$与函数的微分$dy$之间满足$△y=dy+\circ (△x)$
3、 定理 函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在$x_0$处可导，且有$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)△x=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$ 在点$x$处，常记$dy=f^{{}^{\prime }}(x)dx$

解:$$\begin{gathered} 若函数y=f(x)在x_0点可微，则函数的增量△y与函数的微分dy之间满足： \\ △y=dy+\circ (△x) \\ 依据微分定义：△y=A△x+\circ (△x)，（△x\to 0） \\ 判定如下描述：\{\begin{array}{l}A、dy是比△x高阶的无穷小量\Rightarrow 由定理可知\frac{dy}{△x}=f^{{}^{\prime }}(x_0)=\infty \\ \\ B、dy是比△x低阶无穷小量\Rightarrow 由定理可知\frac{dy}{△x}=f^{{}^{\prime }}(x_0)=0\\ \\ C、△y-dy是比△x高阶的无穷小量\Rightarrow 由可微可知：△y=dy+\circ (△x)、\Rightarrow △y-dy=\circ (△x)\\ \\ D、△y-dy是比△x同阶的无穷小量\end{array} \\ （△x\to 0）时，必有△y-dy是比△x高阶的无穷小量 \end{gathered}$$

练习2：若${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=3，则y=f(x)在x=a点的微分dy$=?

知识点：
1 、 定理 函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在$x_0$处可导，且有$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)△x=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$ 在点$x$处，常记$dy=f^{{}^{\prime }}(x)dx$

解:$$\begin{gathered} f^{{}^{\prime }}(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=3 \\ 由可微定理可知：\Rightarrow dy=3dx \end{gathered}$$

练习3： 设函数$f(u)$可导，$y=f(x^2)$当自变量$x在x=-1$处取得增量$△x=-0.1$ 时，相应的函数增量 $△y$ 的线性主部为$0.1$，则$f^{{}^{\prime }}(1)=$?

知识点:
1 、定义（微分） 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果函数的增量$△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$可以表示为$$△y=A△x+\circ (△x)，（△x\to 0）$$
其中A为不依赖于$△x$的常数，$\circ (△x)$ 是$△x$的高阶无穷小，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微，并称$△y$ 的线性主部$A△x$ 为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的微分，记作$dy,df(x)$，即$dy=A△x$
2、 定理 函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在$x_0$处可导，且有$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)△x=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$ 在点$x$处，常记$dy=f^{{}^{\prime }}(x)dx$

解：$$\begin{gathered} dy=f^{{}^{\prime }}(x)△x=2x\cdot f^{{}^{\prime }}(x)△x，dy=A△x=0.1 \\ {f}^{{}^{\prime }}(1)=\frac{dy}{2x\cdot △x}=\frac{0.1}{-0.1\cdot -2}=0.5 \end{gathered}$$

练习4：若函数$y=f(x)$有$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0.5$，则当$△x\to 0$时，该函数$x=x_0$处的微分$dy$是？

知识点:
1 、定义（微分） 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果函数的增量$△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$可以表示为$$△y=A△x+\circ (△x)，（△x\to 0）$$
其中A为不依赖于$△x$的常数，$\circ (△x)$ 是$△x$的高阶无穷小，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微，并称$△y$ 的线性主部$A△x$ 为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的微分，记作$dy,df(x)$，即$dy=A△x$
2、 定理 函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在$x_0$处可导，且有$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)△x=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$ 在点$x$处，常记$dy=f^{{}^{\prime }}(x)dx$

解：$$\begin{gathered} dy=f^{{}^{\prime }}(x)dx=0.5dx=0.5△x \\ \Rightarrow \underset{△x\to 0}{\lim }\frac{dy}{△x}=0.5，是同阶的无穷小 \end{gathered}$$

微分的几何意义

微分$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$在几何上表示曲线$y=f(x)$的切线上的点的纵坐标的增量。
$△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$上的点的纵坐标的增量。
当自变量的增量$|△x|$充分小时，$△y\approx dy$

练习1：设$y=f(x)$具有二阶导数，且$f^{{}^{\prime }}(x)>0,f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$，$△x$为自变量在$x_0$处的增量，$△y和dy$分别为$y=f(x)$在点$x_0$处对应的增量与微分，若$△x>0$，则$dy、△y与0是什么关系$？

知识点:
1、若函数$y=f(x)$在$x_0$点可微，则函数的增量$△y$与函数的微分$dy$之间满足$△y=dy+\circ (△x)$
2、 定理 函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$在$x_0$处可导，且有$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)△x=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$ 在点$x$处，常记$dy=f^{{}^{\prime }}(x)dx$
3、$△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$上的点的纵坐标的增量。
4、$f^{{}^{\prime }}(x)>0：增函数；f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0：凹函数$

解: $$\begin{gathered} dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)△x\Rightarrow dy>0 \\ △y=dy+\circ (△x)\Rightarrow △y>dy \\ \Rightarrow 故：△y>dy>0 \end{gathered}$$

原文地址：https://blog.csdn.net/henni_719/article/details/142633187

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