欧几里得球（Euclidean Ball）和椭球（Ellipsoid）
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一、欧几里得球（Euclidean Ball）
1. 定义
在 n n n维欧几里得空间 R n \mathbb{R}^n Rn中，欧几里得球是以某个点为中心、半径为 r r r的所有点的集合。
-
开球（Open Ball）：
B r ( c ) = { x ∈ R n ∣ ∥ x − c ∥ 2 < r } B_r(\mathbf{c}) = \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid \|\mathbf{x} - \mathbf{c}\|_2 < r \right\} Br(c)={x∈Rn∣∥x−c∥2<r} -
闭球（Closed Ball）：
B ‾ r ( c ) = { x ∈ R n ∣ ∥ x − c ∥ 2 ≤ r } \overline{B}_r(\mathbf{c}) = \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid \|\mathbf{x} - \mathbf{c}\|_2 \leq r \right\} Br(c)={x∈Rn∣∥x−c∥2≤r}
其中：
- c ∈ R n \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n c∈Rn 是球的中心。
- ∣ x − c ∣ 2 |\mathbf{x} - \mathbf{c}|_2 ∣x−c∣2 是 x \mathbf{x} x到 c \mathbf{c} c的欧几里得距离。
- r > 0 r > 0 r>0 是半径。
2. 欧几里得距离
欧几里得距离定义为：
∥
x
−
c
∥
2
=
(
x
1
−
c
1
)
2
+
(
x
2
−
c
2
)
2
+
⋯
+
(
x
n
−
c
n
)
2
\|\mathbf{x} - \mathbf{c}\|_2 = \sqrt{(x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 + \dots + (x_n - c_n)^2}
∥x−c∥2=(x1−c1)2+(x2−c2)2+⋯+(xn−cn)2
3. 例子
-
二维空间（ n = 2 n=2 n=2）：
欧几里得球是一个圆盘，包括（或不包括）边界圆。
-
三维空间（ n = 3 n=3 n=3）：
欧几里得球是通常意义上的球体，包括（或不包括）表面。
4. 性质
- 对称性：欧几里得球关于其中心点 c \mathbf{c} c 是对称的。
- 凸集：欧几里得球是凸集，因为对于任意两点，连接它们的线段都在球内。
- 闭包和内部：开球的闭包是对应的闭球，闭球的内部是对应的开球。
二、椭球（Ellipsoid）
1. 定义
椭球是满足特定二次方程的点的集合，是球体在各方向上伸缩变形的结果。
标准形式的椭球方程：
(
x
−
c
)
⊤
A
−
1
(
x
−
c
)
=
1
(\mathbf{x} - \mathbf{c})^\top \mathbf{A}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{c}) = 1
(x−c)⊤A−1(x−c)=1
其中：
- c ∈ R n \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n c∈Rn 是椭球的中心。
- A \mathbf{A} A 是对称正定矩阵，决定了椭球的形状和方向。
2. 具体形式
如果
A
\mathbf{A}
A 是对角矩阵
A
=
diag
(
a
1
2
,
a
2
2
,
…
,
a
n
2
)
\mathbf{A} = \text{diag}(a_1^2, a_2^2, \dots, a_n^2)
A=diag(a12,a22,…,an2)，则椭球方程为：
(
x
1
−
c
1
)
2
a
1
2
+
(
x
2
−
c
2
)
2
a
2
2
+
⋯
+
(
x
n
−
c
n
)
2
a
n
2
=
1
\frac{(x_1 - c_1)^2}{a_1^2} + \frac{(x_2 - c_2)^2}{a_2^2} + \dots + \frac{(x_n - c_n)^2}{a_n^2} = 1
a12(x1−c1)2+a22(x2−c2)2+⋯+an2(xn−cn)2=1
其中
a
i
>
0
a_i > 0
ai>0 是椭球在第
i
i
i 个坐标轴方向上的半轴长度。
3. 例子
-
二维空间（ n = 2 n=2 n=2）：
椭圆方程：
( x − c x ) 2 a 2 + ( y − c y ) 2 b 2 = 1 \frac{(x - c_x)^2}{a^2} + \frac{(y - c_y)^2}{b^2} = 1 a2(x−cx)2+b2(y−cy)2=1 -
三维空间（ n = 3 n=3 n=3）：
椭球方程：
( x − c x ) 2 a 2 + ( y − c y ) 2 b 2 + ( z − c z ) 2 c 2 = 1 \frac{(x - c_x)^2}{a^2} + \frac{(y - c_y)^2}{b^2} + \frac{(z - c_z)^2}{c^2} = 1 a2(x−cx)2+b2(y−cy)2+c2(z−cz)2=1
4. 性质
- 中心对称：椭球关于中心 c \mathbf{c} c 对称。
- 半轴长度： a i a_i ai 决定了椭球在各个坐标方向的伸展程度。
- 矩阵形式： A \mathbf{A} A 的特征值和特征向量决定了椭球的形状和方向。
5. 变换关系
椭球可以看作是将单位球经过线性变换 T \mathbf{T} T 得到的结果，其中 T \mathbf{T} T 满足 A = T ⊤ T \mathbf{A} = \mathbf{T}^\top \mathbf{T} A=T⊤T。
即：
x
=
T
u
+
c
\mathbf{x} = \mathbf{T} \mathbf{u} + \mathbf{c}
x=Tu+c
其中
u
\mathbf{u}
u 是单位球上的点，即
∣
u
∣
2
=
1
|\mathbf{u}|_2 = 1
∣u∣2=1。
三、欧几里得球与椭球的关系
- 特殊情况：当椭球的所有半轴长度都相等时，椭球退化为球。
- 线性变换：球在经过非等比例的线性变换后会变成椭球。
- 矩阵描述：球和椭球都可以用二次型表示，区别在于矩阵 A \mathbf{A} A 是否为单位矩阵。
四、应用
1. 统计学
- 协方差椭球：在多元正态分布中，等密度曲线是椭球形，其形状由协方差矩阵决定。
- 置信区域：对于参数估计，置信区域常常是椭球形。
2. 优化理论
- 椭球方法：用于凸优化中的迭代算法，通过构造一系列嵌套的椭球逐步逼近最优解。
3. 物理学
- 惯性张量：物体的惯性性质可以用椭球描述，称为惯性椭球。
- 引力势：在天体物理中，椭球形的质量分布会影响引力场。
4. 计算机图形学
- 碰撞检测：椭球用于模拟物体的边界，方便进行碰撞检测和响应。
- 光照模型：椭球形反射面用于模拟光线的反射和折射。
五、总结
- 欧几里得球是以某点为中心、具有相同半径的点的集合，具有高度对称性。
- 椭球是球在各个方向上经过不同尺度的拉伸或压缩后的结果，其形状由正定矩阵 A \mathbf{A} A 决定。
- 数学表示：两者都可以用二次型方程表示，区别在于矩阵是否为单位矩阵。
- 应用领域广泛：在统计学、优化理论、物理学和计算机图形学等领域都有重要应用。
原文地址：https://blog.csdn.net/xy_optics/article/details/142965760
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