【数学分析笔记】第4章第5节 高阶导数和高阶微分（1）
4.5 高阶导数和高阶微分
【背景】【冲量定理和牛顿第二定律】一个物体速度的改变量是与受力的大小成正比，与受力的时间成正比，与物体的质量成反比。即
Δ
v
=
F
⋅
Δ
t
m
\Delta v=\frac{F\cdot \Delta t}{m}
Δv=mF⋅Δt
换一种写法，
F
=
m
⋅
Δ
v
Δ
t
F=m\cdot\frac{\Delta v}{\Delta t}
F=m⋅ΔtΔv
物体在做匀变速运动，
Δ
v
Δ
t
=
a
\frac{\Delta v}{\Delta t}=a
ΔtΔv=a为加速度，上式成为
F
=
m
a
F=ma
F=ma，即牛顿第二定律。
对一般的变速运动（可能是非匀变速运动），要考虑瞬时加速度，令
Δ
t
→
0
\Delta t\to 0
Δt→0，得到
F
(
t
)
=
m
v
′
(
t
)
F(t)=mv'(t)
F(t)=mv′(t)
v
′
(
t
)
=
(
v
(
t
)
)
′
=
(
s
′
(
t
)
)
′
=
s
′
′
(
t
)
v'(t)=(v(t))'=(s'(t))'=s''(t)
v′(t)=(v(t))′=(s′(t))′=s′′(t)
【定义】
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)，若
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)仍然可导，则记它的导函数为
(
f
′
(
x
)
)
′
=
f
′
′
(
x
)
(f'(x))'=f''(x)
(f′(x))′=f′′(x)，称它为
f
(
x
)
f(x)
f(x)的二阶导数，也可记为
y
′
′
(
x
)
y''(x)
y′′(x)或
d
d
x
(
d
y
d
x
)
=
d
2
y
d
x
2
\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d^2y}{dx^2}
dxd(dxdy)=dx2d2y（这个
d
x
2
dx^2
dx2实际上是
(
d
x
)
2
(dx)^2
(dx)2，并不是
x
2
x^2
x2求微分）或
d
d
x
(
d
f
d
x
)
=
d
2
f
d
x
2
\frac{d}{dx}(\frac{df}{dx})=\frac{d^2f}{dx^2}
dxd(dxdf)=dx2d2f.
若
f
′
′
(
x
)
f''(x)
f′′(x)仍然可导，则它的导数称为
f
(
x
)
f(x)
f(x)的三阶导数，记为
f
′
′
′
(
x
)
f'''(x)
f′′′(x)或
y
′
′
′
(
x
)
y'''(x)
y′′′(x)或
d
d
x
(
d
3
y
d
x
3
)
=
d
3
y
d
x
3
\frac{d}{dx}(\frac{d^3 y}{dx^3})=\frac{d^3 y}{dx^3}
dxd(dx3d3y)=dx3d3y，
d
d
x
(
d
3
f
d
x
3
)
=
d
3
y
d
x
3
\frac{d}{dx}(\frac{d^3 f}{dx^3})=\frac{d^3 y}{dx^3}
dxd(dx3d3f)=dx3d3y
从四阶开始，记为
f
(
4
)
(
x
)
,
f
(
5
)
(
x
)
,
.
.
.
,
f
(
n
)
(
x
)
f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),...,f^{(n)}(x)
f(4)(x),f(5)(x),...,f(n)(x)
【定义4.5.1】若
f
(
x
)
f(x)
f(x)的
n
−
1
n-1
n−1阶导数
f
(
n
−
1
)
(
x
)
f^{(n-1)}(x)
f(n−1)(x)仍然可导，则它的导数记为
(
f
(
n
−
1
)
(
x
)
)
′
=
f
(
n
)
(
x
)
(f^{(n-1)}(x))'=f^{(n)}(x)
(f(n−1)(x))′=f(n)(x)或
y
(
n
)
(
x
)
y^{(n)}(x)
y(n)(x)或
d
n
f
d
x
n
\frac{d^n f}{dx^n}
dxndnf或
d
n
y
d
x
n
\frac{d^n y}{dx^n}
dxndny.
【例4.5.1】求
y
=
e
x
y=e^x
y=ex的高阶导数。
【解】
(
e
x
)
′
=
e
x
,
(
e
x
)
′
′
=
(
(
e
x
)
′
)
′
=
(
e
x
)
′
=
e
x
(e^x)'=e^x,(e^x)''=((e^x)')'=(e^x)'=e^x
(ex)′=ex,(ex)′′=((ex)′)′=(ex)′=ex
所以
(
e
x
)
(
n
)
=
e
x
(e^x)^{(n)}=e^x
(ex)(n)=ex.
【例】求
y
=
a
x
y=a^x
y=ax的高阶导数。
【解】
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
,
(
(
a
x
)
′
)
′
=
a
x
(
ln
x
)
2
,
.
.
.
,
(
a
x
)
(
n
)
=
a
x
(
ln
a
)
n
(a^x)'=a^x \ln a,((a^x)')'=a^x (\ln x)^2,...,(a^x)^{(n)}=a^x (\ln a)^n
(ax)′=axlna,((ax)′)′=ax(lnx)2,...,(ax)(n)=ax(lna)n
【例4.5.2】求
y
=
sin
x
y=\sin x
y=sinx的高阶导数
【解】
y
′
=
cos
x
=
sin
(
x
+
π
2
)
,
y
′
′
=
−
sin
x
=
sin
(
x
+
π
)
,
,
y
′
′
′
=
−
cos
x
=
sin
(
x
+
3
π
2
)
,
y
(
4
)
=
sin
x
=
sin
(
x
+
2
π
)
,
.
.
.
y
(
n
)
=
sin
(
x
+
n
π
2
)
y' = \cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}), y''= -\sin x=\sin(x+\pi),,y'''= -\cos x=\sin(x+\frac{3\pi}{2}),y^{(4)}=\sin x=\sin(x+2\pi),...y^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})
y′=cosx=sin(x+2π),y′′=−sinx=sin(x+π),,y′′′=−cosx=sin(x+23π),y(4)=sinx=sin(x+2π),...y(n)=sin(x+2nπ).
【注】同理，
(
cos
x
)
(
n
)
=
cos
(
x
+
n
π
2
)
(\cos x)^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi}{2})
(cosx)(n)=cos(x+2nπ)
原文地址：https://blog.csdn.net/qq_30204431/article/details/142735480
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