数据结构--堆，堆排序

1.树概念及结构

1.1树的概念

有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根结点没有前驱结点

除根结点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个

因此， 树是递归定义 的。

 

 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

 1.2树的相关概念

 

 

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的为6

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子

孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

 1.3树的表示

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

 1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

 

 2.二叉树概念及结构

 2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

 

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 

 2.2特殊的二叉树 

 

3.堆

3.1堆的性质

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 使用顺序结构的数组来存储

堆顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

 堆分为大堆（某个结点的值总是不小于父结点）与小堆（某个结点的值总是不大于父结点）

 

 3.2堆的实现

3.2.1 堆向下调整算法

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

3.2.2堆的创建

 

3.2.3 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆

 

3.2.4 堆的删除

 

 3.2.5 堆的代码实现

#include"Heap.h"
//初始化
void HPInit(HP* php)
{
assert(php);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}

//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}

//交换函数
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;//找父结点：子节点-1/2
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);//交换函数
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else//如果child<0，表明child来到了树根
{
break;
}
}
}
//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
//当 php->size 等于 php->capacity 时，表示当前数组 php->a 已经存储满了，需要进行扩容操作。
{
int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;//如果capacity为0，赋4，不为0，乘2扩两倍
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));//扩容
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}

php->a = tmp;
php->capacity = newcapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;

AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
//先假设左孩子小
int child = parent * 2 + 1;//找子结点，父结点*2+1

while (child < n)
{
//找到小的那个孩子结点
if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])//左孩子是child，右孩子就是child+1
{
++child;
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
//删除，从树根删除
void HPPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);//树根数据跟最后的叶子交换
php->size--;//删除树根数据

AdjustDown(php->a, php->size, 0);//向下调整，重新调整为（大/小）堆
}
//取树根数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
return php->a[0];
}
//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}

 3.3堆排序

1. 建堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

 

 

// 堆排序    O(N*logN)
void HeapSort(int* a, int n)
{
// 降序，建小堆
// 升序，建大堆
/*for (int i = 1; i < n; i++)
{
AdjustUp(a, i);
}*/

for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}

int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);//最后的叶子结点，也就是数组最后的那个数据，跟树根数据循环交换，
//如果是小堆，每次取到最小的数据，最后调整为降序
AdjustDown(a, end, 0);
--end;
}
}
void TestHeap2()
{
int a[] = { 4,2,8,1,5,6,9,7,2,7,9 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
}

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原文地址：https://blog.csdn.net/pzn2506/article/details/140265518

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