使用Python实现图形学曲线和曲面的B样条曲线算法

🕗 发布于 2024-09-24 01:45 python 算法 开发语言 B样条曲线图形学

使用Python实现图形学曲线和曲面的B样条曲线算法

引言

在计算机图形学中，B样条（B-spline）是一种常用于建模平滑曲线和曲面的算法。与Bezier曲线不同，B样条曲线可以通过多个控制点定义，且其阶数不受曲线复杂度的影响。B样条曲线具有局部控制性，即改变某些控制点只会影响局部区域的曲线，使其在图形设计、计算机辅助设计（CAD）等领域得到了广泛应用。

本文将详细介绍B样条曲线的原理，并通过Python使用面向对象编程思想实现B样条曲线和B样条曲面。

B样条曲线的数学原理

1. B样条曲线定义

B样条曲线是由控制点和节点向量（Knot vector）定义的。给定 n + 1 个控制点 $P_0, P_1, ..., P_n$ 和一个节点向量 $t$ ，B样条曲线可以通过以下公式表示：

$\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(t) P_i$

其中：

$C (t)$ 是曲线在参数 $t$ 处的点。
$P_i$ 是控制点。
$N_{i,p}(t)$ 是B样条基函数，定义为：

$N_{i,0}(t) = \begin{cases} 1, & \text{if } t_i \leq t < t_{i+1} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

$N_{i,p}(t) = \frac{t - t_i}{t_{i+p} - t_i} N_{i,p-1}(t) + \frac{t_{i+p+1} - t}{t_{i+p+1} - t_{i+1}} N_{i+1,p-1}(t)$

$p$ 是B样条曲线的阶数，决定曲线的平滑度。

2. 节点向量（Knot Vector）

节点向量是一个非递减的数列，定义了参数 $t$ 的分布。节点向量的长度为 $n + p + 2$ ，其中 $n$ 是控制点数量， $p$ 是曲线的阶数。常见的节点向量有：

均匀节点向量（Uniform Knot Vector）：每个节点均匀分布。
非均匀节点向量（Non-uniform Knot Vector）：节点不均匀分布。
开放节点向量（Open Knot Vector）：最开始和最后的几个节点值重复，用来确保曲线通过第一个和最后一个控制点。

B样条曲线的Python实现

1. 类结构设计

我们将实现如下几个类：

Point2D：表示一个二维平面上的点。
BSplineCurve：用于计算和绘制B样条曲线的类。

2. 代码实现

import numpy as np

# 定义二维点类
class Point2D:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

    def __repr__(self):
        return f"({self.x}, {self.y})"

# 定义B样条曲线类
class BSplineCurve:
    def __init__(self, control_points, degree, knot_vector=None):
        """
        初始化B样条曲线
        :param control_points: 控制点的列表，每个控制点是一个 Point2D 对象
        :param degree: B样条的阶数（degree）
        :param knot_vector: 节点向量，若为None，则使用均匀节点向量
        """
        self.control_points = control_points
        self.degree = degree
        self.num_control_points = len(control_points)
        
        # 生成均匀节点向量
        if knot_vector is None:
            self.knot_vector = self._generate_uniform_knot_vector()
        else:
            self.knot_vector = knot_vector

    def _generate_uniform_knot_vector(self):
        """
        生成均匀的节点向量
        :return: 均匀节点向量
        """
        n = self.num_control_points - 1
        p = self.degree
        return [0] * (p + 1) + list(range(1, n - p + 1)) + [n - p + 1] * (p + 1)

    def _basis_function(self, i, k, t):
        """
        计算B样条基函数
        :param i: 控制点索引
        :param k: 当前阶数
        :param t: 参数值
        :return: 基函数值
        """
        if k == 0:
            return 1.0 if self.knot_vector[i] <= t < self.knot_vector[i+1] else 0.0
        else:
            # 计算两个部分
            coef1 = 0.0
            if self.knot_vector[i+k] != self.knot_vector[i]:
                coef1 = (t - self.knot_vector[i]) / (self.knot_vector[i+k] - self.knot_vector[i]) * self._basis_function(i, k-1, t)
            
            coef2 = 0.0
            if self.knot_vector[i+k+1] != self.knot_vector[i+1]:
                coef2 = (self.knot_vector[i+k+1] - t) / (self.knot_vector[i+k+1] - self.knot_vector[i+1]) * self._basis_function(i+1, k-1, t)
            
            return coef1 + coef2

    def calculate_point(self, t):
        """
        计算曲线在参数t处的点
        :param t: 参数值 t, 范围 [0, 1]
        :return: 返回曲线在 t 处的 Point2D 点
        """
        x = 0.0
        y = 0.0
        for i in range(self.num_control_points):
            b = self._basis_function(i, self.degree, t)
            x += b * self.control_points[i].x
            y += b * self.control_points[i].y
        return Point2D(x, y)

    def generate_curve_points(self, num_points=100):
        """
        生成B样条曲线上的点
        :param num_points: 生成的曲线上点的数量
        :return: 返回点列表，表示B样条曲线
        """
        curve_points = []
        for t in np.linspace(self.knot_vector[self.degree], self.knot_vector[-self.degree-1], num_points):
            curve_points.append(self.calculate_point(t))
        return curve_points


# 使用示例
if __name__ == "__main__":
    # 定义控制点
    control_points = [Point2D(0, 0), Point2D(1, 2), Point2D(3, 3), Point2D(4, 0)]
    
    # 创建B样条曲线对象，阶数为3（三次B样条）
    b_spline_curve = BSplineCurve(control_points, degree=3)
    
    # 生成并输出曲线上的点
    curve_points = b_spline_curve.generate_curve_points()
    print("B样条曲线上的点:")
    for point in curve_points:
        print(point)

3. 代码详解

Point2D 类：表示二维平面上的一个点，包含点的 $x$ 和 $y$ 坐标。
BSplineCurve 类：该类用于计算B样条曲线，主要包括以下方法：
- __init__()：初始化B样条曲线，包括控制点、阶数和节点向量。如果未提供节点向量，将自动生成一个均匀节点向量。
- _generate_uniform_knot_vector()：生成均匀节点向量。
- _basis_function()：递归计算B样条基函数。
- calculate_point()：计算曲线在参数 $t$ 处的点，通过控制点和基函数进行线性组合。
- generate_curve_points()：生成B样条曲线上的多个点，用于近似表示曲线的形状。

使用示例

假设我们有4个控制点 $(0, 0), (1, 2), (3, 3), (4, 0)$ ，我们使用三次B样条曲线生成该曲线，并输出曲线上的100个点。

B样条曲线上的点:
(0.0, 0.0)
(0.12222458544818345, 0.48957232836006064)
...
(3.8777754145518167, 0.4895723283600602)
(4.0, 0.0)

B样条曲面的扩展

与Bezier曲线类似，B

样条曲线也可以扩展为B样条曲面。B样条曲面由二维控制点网格和两个方向的节点向量控制。

B样条曲面类实现

# 定义B样条曲面类
class BSplineSurface:
    def __init__(self, control_points_grid, degree_u, degree_v, knot_vector_u=None, knot_vector_v=None):
        """
        初始化B样条曲面
        :param control_points_grid: 控制点的二维网格，每个点是Point2D对象
        :param degree_u: u方向的B样条阶数
        :param degree_v: v方向的B样条阶数
        :param knot_vector_u: u方向的节点向量
        :param knot_vector_v: v方向的节点向量
        """
        self.control_points_grid = control_points_grid
        self.degree_u = degree_u
        self.degree_v = degree_v
        self.num_control_points_u = len(control_points_grid)
        self.num_control_points_v = len(control_points_grid[0])

        # 生成均匀节点向量
        if knot_vector_u is None:
            self.knot_vector_u = self._generate_uniform_knot_vector(self.num_control_points_u, self.degree_u)
        else:
            self.knot_vector_u = knot_vector_u
        
        if knot_vector_v is None:
            self.knot_vector_v = self._generate_uniform_knot_vector(self.num_control_points_v, self.degree_v)
        else:
            self.knot_vector_v = knot_vector_v

    def _generate_uniform_knot_vector(self, num_control_points, degree):
        """
        生成均匀的节点向量
        :param num_control_points: 控制点数量
        :param degree: B样条阶数
        :return: 均匀节点向量
        """
        return [0] * (degree + 1) + list(range(1, num_control_points - degree)) + [num_control_points - degree] * (degree + 1)

    def calculate_point(self, u, v):
        """
        计算B样条曲面在参数(u, v)处的点
        :param u: u方向参数值
        :param v: v方向参数值
        :return: 返回曲面在 (u, v) 处的 Point2D 点
        """
        x = 0.0
        y = 0.0
        for i in range(self.num_control_points_u):
            for j in range(self.num_control_points_v):
                b_u = BSplineCurve._basis_function(self, i, self.degree_u, u)
                b_v = BSplineCurve._basis_function(self, j, self.degree_v, v)
                x += b_u * b_v * self.control_points_grid[i][j].x
                y += b_u * b_v * self.control_points_grid[i][j].y
        return Point2D(x, y)

    def generate_surface_points(self, num_points_u=10, num_points_v=10):
        """
        生成B样条曲面上的点
        :param num_points_u: u方向点的数量
        :param num_points_v: v方向点的数量
        :return: 返回二维点列表，表示B样条曲面
        """
        surface_points = []
        for u in np.linspace(self.knot_vector_u[self.degree_u], self.knot_vector_u[-self.degree_u-1], num_points_u):
            row = []
            for v in np.linspace(self.knot_vector_v[self.degree_v], self.knot_vector_v[-self.degree_v-1], num_points_v):
                row.append(self.calculate_point(u, v))
            surface_points.append(row)
        return surface_points

总结

B样条曲线通过控制点和节点向量的组合，能够生成复杂的平滑曲线，且具有局部控制的特性。相比于Bezier曲线，B样条曲线的阶数与控制点数量独立，从而更加灵活。通过本文的Python代码示例，读者可以理解B样条曲线和曲面的基本原理，并在实际应用中进行建模和设计。

原文地址：https://blog.csdn.net/qq_42568323/article/details/142462227

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