Greiner 经典力学（多体系统和哈密顿力学）第三章 学习笔记 （Foucault‘s Pendulum）

第三章 学习笔记 （Foucault’s Pendulum）

傅科摆是个经典的物理实验，这个实验证明了地球的自转。利用上一节获得的任意坐标系下的运动方程，可以很简洁的推导出傅科摆的各种性质。

首先，以傅科摆所在的位置建立一个局部坐标系。那么有：
$$\begin{gathered} m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{F}-m\ddot{\mathbf{R}}{|}_L-m\dot{\omega }{|}_M\times {\mathbf{r}}^{\prime }-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime }) \\ =\mathbf{F}-m\omega \times (\omega \times \mathbf{R})-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime }) \end{gathered}$$
上面推导中利用了地球是匀速旋转的，所以 $\dot{\omega }=0$ 。傅科摆收到两个外力，分别是张力 $\mathbf{T}$ 和万有引力 $\mathbf{G}$。
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{T}+\mathbf{G}-m\omega \times (\omega \times \mathbf{R})-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
这里万有引力和地球旋转产生的离心力共同的作用效果就是重力： $\mathbf{G}-m\omega \times (\omega \times \mathbf{R})=m\mathbf{g}$。因此上式可以进一步写为：
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{T}+m\mathbf{g}-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
由于地球自转角速度很慢，所以等式右边第四项相比其他项可以忽略。因此上式进一步简化后得到：
$$m\ddot{r}=\mathbf{T}+m\mathbf{g}-2m\omega \times \mathbf{v}$$

上面的式子全都是使用地面坐标系，所以我们省略了下标和上角标。

下面就是把矢量方程化为标量方程。先把张力 $\mathbf{T}$ 分解为三个方向的分量。这个比较简单，参考下图很容易就可以写出分量。

$$T=\frac{-x}{l}{\hat{\mathbf{e}}}_1+\frac{-y}{l}{\hat{\mathbf{e}}}_2+\frac{l-z}{l}{\hat{\mathbf{e}}}_3$$

实际上 $x,y,z$ 并不是独立的，质点只能在一个球面上运动。

下面还需要把 $\omega $ 分解为三个方向的分量，这个可以参考下面的图：

有了 $\omega $ 的分量表示后就可以求 $\omega \times \mathbf{v}$：
$$\begin{gathered} \omega \times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\\ -\omega \sin \lambda & 0& \omega \cos \lambda \\ \dot{x}& \dot{y}& \dot{z}\end{array}\right| \\ =-\omega \cos \lambda \dot{y}{\hat{\mathbf{e}}}_1+\omega (\cos \lambda \dot{x}+\sin \lambda \dot{z}){\hat{\mathbf{e}}}_2-\omega \sin \lambda \dot{y}{\hat{\mathbf{e}}}_3 \end{gathered}$$
到这里就可以写出运动方程的分量形式了。
$$\begin{gathered} m\ddot{x}=-\frac{x}{l}T+2m\omega \cos \lambda \dot{y} \\ m\ddot{y}=-\frac{y}{l}T-2m\omega (\cos \lambda \dot{x}+\sin \lambda \dot{z}) \\ m\ddot{z}=\frac{l-z}{l}T+2m\omega \sin \lambda \dot{y} \end{gathered}$$
傅科摆很长，可以认为 $z$ 方向式不动的。那么上面式子可以简化为：
$$\begin{gathered} m\ddot{x}=-\frac{x}{l}T+2m\omega \cos \lambda \dot{y} \\ m\ddot{y}=-\frac{y}{l}T-2m\omega \cos \lambda \dot{x} \end{gathered}$$
另外就是绳子的张力约等于重力：$\mathbf{T}\approx m\mathbf{g}$。所以上式进一步可以消去 $T$ 和 $m$。
$$\begin{gathered} \ddot{x}=-\frac{x}{l}g+2\omega \cos \lambda \dot{y} \\ \ddot{y}=-\frac{y}{l}g-2\omega \cos \lambda \dot{x} \end{gathered}$$
我们设 $g/l=k^2,\omega \cos \lambda ={\alpha }^2$，那么上式可以化为：
$$\begin{gathered} \ddot{x}=-k^{2}x+2{\alpha }^2\dot{y} \\ \ddot{y}=-k^{2}y-2{\alpha }^2\dot{x} \end{gathered}$$
下面的工作就是解这个微分方程组，就不详细写了。需要强调的是上面推导过程用到了大量的近似，这些近似都是有明确的物理意义的。解决物理问题一个很重要的能力就是学会把复杂的问题一步步简化为可以求解的简单问题。

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