【海贼王的数据航海】ST表——RMQ问题
目录
1 -> RMQ问题
1.1 -> 定义
RMQ (Range Minimum/Maximum Query)即区间最值查询问题指：有一组数据和若干个查询，要求在短时间内回答每个查询[ l ,r ] 内的最值。
1.2 -> 解决策略
- 朴素搜索：暴力(BFS/DFS) 时间复杂度O(n)。
- 线段树(Segment Tree) 时间复杂度O(n)-O(logn)。
- ST表(Sparse Table，稀疏表)：倍增思想，O(nlogn)预处理，O(1)查询最值。
2 -> ST表
2.1 -> 定义
ST表(Sparse Table，稀疏表)，主要应用倍增思想，是一种用于解决可重复贡献问题的数据结构。它通过预处理给定数组，创建一个二维表格，使得任何区间的最小/最大值查询都可以在常数时间内完成。ST表特别适合于静态数据：当数列不经常改变时，它是最有效的。可以实现O(nlogn)预处理、O(1)查询。主要用于解决RMQ问题。
2.2 什么是可重复贡献问题
可重复贡献问题是指在某些特定的数学运算中，当运算的性质满足一定条件时，即使是在包含重复部分的区间内进行询问，所得到的结果仍然是相同的问题。这种问题的特点是，它们可以通过预处理所有可能的区间，然后在查询时直接返回预处理的结果来解决。例如，最大值问题和最大公因数问题就是典型的可重复贡献问题，因为它们满足以下性质：
- 最大值满足
max(x, x) = x - 最大公因数满足
gcd(x, x) = x
这些性质意味着，对于任何给定的数 x，其自身与其他任何数的最大值或最大公因数仍然是 x 本身。因此，当我们需要计算一个区间内的最大值或最大公因数时，可以将区间分割成更小的子区间，并利用这些子区间的结果来快速得出整个区间的答案。
2.3 -> 预处理ST表
倍增法递推：用两个等长的小区间拼凑成一个大区间。
f[ i ][ j ] 以第 i 个数为起点，长度为的区间中的最大值。
理想状态方程：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int M = 20;
int f[N][M];
int main()
{
//预处理ST表
int n = 0;
int m = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
cin >> f[i][0];
for (int j = 1; j <= M; j++) //枚举区间长度
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) //枚举起点
f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
return 0;
}区间终点：
假如n = 6
区间长度倍增：1，2，4，8……
f[ i，0 ]：[ 1 1 ][ 2 2 ][ 3 3 ][ 4 4 ][ 5 5 ][ 6 6 ]
f[ i，1 ]：[ 1 2 ][ 2 3 ][ 3 4 ][ 4 5 ][ 5 6 ]
f[ i，2 ]：[ 1 4 ][ 2 5 ][ 3 6 ]
2.4 -> 处理查询
对查询区间[ l，r ]做分割、拼凑。
区间长度的指数：
k = 0：{1}
k = 1：{2，3}
k = 2：{4，5，6，7}
k = 3：{8，9，10，11，12，13，14，15}
通过观察可以发现：
即区间[ l，r ]必可以用两个长度为的区间重叠拼凑。
即
int l = 0;
int r = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
scanf("%d %d", &l, &r);
int k = log2(r - l + 1); //区间长度指数
printf("%d\n", max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]));
}[1，4] -> [1，4] + [1，4]
[1，5] -> [1，4] + [2，5]
[1，6] -> [1，4] + [3，6]
[1，7] -> [1，4] + [4，7]
总结：凡是符合结合律且可重复贡献的信息查询都可以使用ST表。显然最大值、最小值、最大公因数、最小公倍数、按位或、按位与都符合这个条件。如果涉及区间修改操作，就要使用线段树解决了。
2.5 -> 实际问题
luogu：P3865
题目链接：P3865 【模板】ST 表
题目背景
这是一道 ST 表经典题——静态区间最大值
题目描述
给定一个长度为 N 的数列，和 M 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。
输入格式
第一行包含两个整数 N,M，分别表示数列的长度和询问的个数。
第二行包含 N 个整数（记为 ai），依次表示数列的第 i 项。
接下来 M 行，每行包含两个整数 𝑙𝑖,𝑟𝑖，表示查询的区间为 [𝑙𝑖,𝑟𝑖]。
输出格式
输出包含 M 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。
输入输出样例
输入 #1
8 8 9 3 1 7 5 6 0 8 1 6 1 5 2 7 2 6 1 8 4 8 3 7 1 8
输出 #1
9 9 7 7 9 8 7 9
说明/提示
对于 30%30% 的数据，满足 1≤𝑁,𝑀≤101≤N,M≤10。
对于 70%70% 的数据，满足 1≤𝑁,𝑀≤1051≤N,M≤105。
对于 100%100% 的数据，满足 1≤𝑁≤1051≤N≤105，1≤𝑀≤2×1061≤M≤2×106，𝑎𝑖∈[0,109]ai∈[0,109]，1≤𝑙𝑖≤𝑟𝑖≤𝑁1≤li≤ri≤N。
AC代码：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int M = 20;
int f[N][M];
int main()
{
//预处理ST表
int n = 0;
int m = 0;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &f[i][0]);
for (int j = 1; j <= M; j++) //枚举区间长度
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) //枚举起点
f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
int l = 0;
int r = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
scanf("%d %d", &l, &r);
int k = log2(r - l + 1); //区间长度指数
printf("%d\n", max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]));
}
return 0;
}感谢各位大佬支持！！！
互三啦！！！
原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_74809706/article/details/140230894
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