滑模面设计及其应用实例详解

1. 滑模面的参数设计

对于线性系统
$$\dot{x}=Ax+bu，x\in R^n,u\in R$$

滑模面可设计为
$$\begin{gathered} s(x)=Cx=\sum _{i=1}^n{c}_{i}x \\ =\sum _{i=1}^{n-1}{c}_i{x}_i+x_n \end{gathered}$$

其中，$x$是状态列向量，$C=[c_1...c_{n-1}1]$。

在滑模控制中，参数$c_1,c_2,...,c_{n-1}$应该满足多项式 $p^{n-1}+c_{n-1}{p}^{n-2}+...+c_{2}p+c_1$为$Hurwitz$(赫尔维茨)稳定，$p$为拉普拉斯算子。

例如，当$n=2$时，$s(x)=c_1{x}_1+x_2$，为了保证多项式$p+c_1$为$Hurwitz$稳定 ，需要多项式 $p+c_1=0$的特征值实数部分小于零，即$c_1>0$。

又如，当$n=3$时，$s(x)=c_1{x}_1+c_2{x}_2+x_3$，为了保证多项式$p^2+c_{2}p+c_1$为$Hurwitz$稳定，需要多项式$p^2+c_{2}p+c_1=0$的特征值实数部分为负。

不妨取 $p^2+2\lambda +{\lambda }^2=0$，则$(p+\lambda {)}^2$，取$\lambda >0$，可满足多项式$p^2+c_{2}p+c_1=0$的特征值满足实数部分为负，对应得可得到$c_2=2\lambda ，c_1={\lambda }^2$。

滑模问题在轨迹跟踪控制上的应用

对于跟踪问题，若设计滑模函数为
$$s(t)=ce(t)+\dot{e}(t)$$
其中，$e(t)=x-x_d$是跟踪误差, $x$为实际位置，$x_d$为期望位置，$\dot{e}(t)$为跟踪误差变化率， 则 $c$ 必须满足$Hurwitz$条件 $c>0$。

当$s(t)=0$时，$ce(t)+\dot{e}(t)=0,\dot{e}(t)=-ce(t)$，即$\frac{1}{e(t)}\dot{e}(t)=-c$。积分可得 $${\int }_0^t\frac{1}{e(t)}\dot{e}(t)dt={\int }_0^t-cdt$$，解得$$ln\frac{e(t)}{e(0)}=-ct$$

收敛结果为 $$e(t)=e(0)e^{-ct}$$，即当$t\to \infty$，误差指数收敛于 0，收敛速度取决于$c$值。

若通过控制律的设计，保证$s(t)$指数收敛于零，则当$t\to \infty$时，误差变化率也是指数趋近于零。

滑模面设计过程、滑模控制仿真、非线性系统控制器设计仿真传送门：

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参考内容：《滑模变结构控制Matlab仿真》

原文地址：https://blog.csdn.net/AII_IIA/article/details/142553510

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