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数学二】函数的连续性-连续性的概念、连续函数的运算及初等函数的连续性

考试要求
1、理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题的函数关系.

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3、理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则.
7、.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.

连续性的概念

定义1 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某领域内有定义,若 lim ⁡ △ x → 0 y = lim ⁡ △ x → 0 [ f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) ] = 0 \lim_{\triangle x \to 0}y=\lim_{\triangle x \to 0}[f(x_0+\triangle x)-f(x_0)]=0 x0limy=x0lim[f(x0+x)f(x0)]=0,则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续,并 x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x)的连续点。
定义2 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某邻域内有定义,若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) ,则称 y = f ( x ) \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0),则称y=f(x) limxx0f(x)=f(x0),则称y=f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续, x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x)的连续点。

TIPS
1、上述两个定义是等价的,即极限值等于函数值
2、 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0点连续 ⇔ { 1 、 f ( x 0 ) 有定义 2 、 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) 存在为 A 3 、 A = f ( x 0 ) \Leftrightarrow \begin{cases} 1、f(x_0)有定义 \\ \quad \\2、\lim_{x\to x_0}f(x)存在为A \\ \quad \\ 3、A=f(x_0)\end{cases} 1f(x0)有定义2limxx0f(x)存在为A3A=f(x0)

定义3 lim ⁡ x → x 0 − = f ( x 0 ) ,则称 y = f ( x ) 在 x 0 处左连续 \lim_{x\to x_0^-}=f(x_0),则称y=f(x)在x_0处左连续 limxx0=f(x0),则称y=f(x)x0处左连续
lim ⁡ x → x 0 + = f ( x 0 ) ,则称 y = f ( x ) 在 x 0 处右连续 \lim_{x\to x_0^+}=f(x_0),则称y=f(x)在x_0处右连续 limxx0+=f(x0),则称y=f(x)x0处右连续
定理函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续的充要条件是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0既左连续又右连续。

定义4 如果 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内每点都连续,则称 f ( x ) f(x) f(x) ( a , b ) (a,b) (a,b)内连续,若 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内连续,在 x = a 处右连续,在 x = b 处左连续 x=a处右连续,在x=b处左连续 x=a处右连续,在x=b处左连续,则称 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续。

练习1:补充定义f(x),使 f ( x ) = 1 + x − 1 − x x f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} f(x)=x1+x 1x x = 0 x=0 x=0处连续.

知识点
1、定义2 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某邻域内有定义,若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) ,则称 y = f ( x ) \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0),则称y=f(x) limxx0f(x)=f(x0),则称y=f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续, x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x)的连续点。
2、 1 + x − 1 − x ∼ x ( x → 0 ) \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \sim x (x \to 0) 1+x 1x x(x0)

f ( x ) 在 x = 0 点连续 ⇔ lim ⁡ x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) lim ⁡ x → 0 f ( x ) = lim ⁡ x → 0 1 + x − 1 − x x = 1 即 f ( 0 ) = 1 时, f ( x ) 在 x = 0 处连续 f(x)在x=0点连续\Leftrightarrow \lim_{x \to 0}f(x)=f(0) \\ \quad \\ \lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=1 \\ \quad \\ 即 f(0)=1时,f(x)在x=0处连续 f(x)x=0点连续x0limf(x)=f(0)x0limf(x)=x0limx1+x 1x =1f(0)=1时,f(x)x=0处连续

练习2:判断函数 f ( x ) = { ln ⁡ ( 1 + x ) x , − 1 < x < 0 2 , x = 0 2 sin ⁡ x 2 x , x > 0 f(x)=\begin{cases} \frac{\ln(1+x)}{x},\quad -1<x<0 \\ \quad \\ 2, \quad x=0 \\ \quad \\ \frac{2\sin\frac{x}{2}}{x}, \quad x>0\end{cases} f(x)= xln(1+x),1<x<02,x=0x2sin2x,x>0 x = 0 x=0 x=0点的连续性.

知识点:
定理函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续的充要条件是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0既左连续又右连续。

lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = lim ⁡ x → x 0 − ln ⁡ ( 1 + x ) x = 1 ≠ f ( 0 ) = 2 即 f ( x ) 在 x = 0 点处不连续 \lim_{x \to x_0^-}f(x)=\lim_{x \to x_0^-}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\ne f(0)=2\\ \quad \\即f(x)在x=0点处不连续 xx0limf(x)=xx0limxln(1+x)=1=f(0)=2f(x)x=0点处不连续

练习3:设函数 f ( x ) = { 1 − e tan ⁡ x arcsin ⁡ x 2 , x > 0 a e 2 x , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases} \frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}},x>0 \\ \quad \\ ae^{2x}, \quad x\le0 \end{cases} f(x)= arcsin2x1etanx,x>0ae2x,x0 x = 0 x=0 x=0处连续,则 a a a?

知识点
1、定理函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续的充要条件是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0既左连续又右连续。
2、 e x − 1 ∼ x , arcsin ⁡ x ∼ x , tan ⁡ x ∼ x ( x → 0 ) e^x-1 \sim x,\arcsin x \sim x,\tan x \sim x(x \to 0) ex1xarcsinxx,tanxxx0

f ( 0 ) = a , lim ⁡ x → 0 + f ( x ) = lim ⁡ x → 0 + 1 − e tan ⁡ x arcsin ⁡ x 2 ⇒ = lim ⁡ x → 0 + − tan ⁡ x x 2 = lim ⁡ x → 0 + − tan ⁡ x x 2 = − 2 lim ⁡ x → 0 − f ( x ) = lim ⁡ x → 0 − a e 2 x = a 故 f ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) = lim ⁡ x → 0 − ,即 a = − 2 f(0)=a,\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}} \\ \quad \\ \Rightarrow=\lim_{x\to 0^+}\frac{-\tan x}{ \frac{x}{2}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-\tan x}{ \frac{x}{2}}=-2\\ \quad \\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}ae^{2x}=a \\ \quad \\ 故f(0)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-},即a=-2 f(0)=ax0+limf(x)=x0+limarcsin2x1etanx⇒=x0+lim2xtanx=x0+lim2xtanx=2x0limf(x)=x0limae2x=af(0)=x0+limf(x)=x0lim,即a=2

连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的运算

定理(四则运算) 若函数 f ( x ) 和 g ( x ) f(x)和g(x) f(x)g(x) x 0 x_0 x0处都连续,则 f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) g ( x ) , f ( x ) g ( x ) ( g ( x 0 ) ≠ 0 ) f(x) \pm g(x),f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0)\ne 0) f(x)±g(x)f(x)g(x),g(x)f(x)(g(x0)=0) 在点 x 0 x_0 x0处也连续.

定理(复合函数的连续性) 如果函数 u = φ ( x ) 在点 x = x 0 u=\varphi(x)在点x=x_0 u=φ(x)在点x=x0处连续, φ ( x 0 ) = u 0 \varphi(x_0)=u_0 φ(x0)=u0,而函数 y = f ( u ) 在点 u = u 0 y=f(u)在点u=u_0 y=f(u)在点u=u0处连续,则复合函数 y = f [ φ ( x ) ] 在 x = x 0 y=f[\varphi(x)]在x=x_0 y=f[φ(x)]x=x0处连续。即: lim ⁡ x → x 0 f [ φ ( x ) ] = f [ φ ( x 0 ) ] \lim_{x \to x_0}f[\varphi(x)]=f[\varphi(x_0)] limxx0f[φ(x)]=f[φ(x0)]
定理(反函数的连续性) 设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在某区间上连续,且单调增加(减少),则它的反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f1(x)在对应区间上连续,且单调增加(减少)。

初等函数的连续性

定理 基本初等函数在其定义域内都是连续的.
定理 初等函数在其定义区间内都是连续的
TIPS: 分段函数多数不是初等函数,在定义域内除分界点之外的点,往往都是连续,但在分界点上不一定连续。

练习1:下列命题错误的是()

A、若 f ( x ) 在 x 0 处连续, g ( x ) 在 x 0 处不连续,则 f ( x ) + g ( x ) 在 x 0 处不连续 f(x)在x_0处连续,g(x)在x_0处不连续,则f(x)+g(x)在x_0处不连续 f(x)x0处连续,g(x)x0处不连续,则f(x)+g(x)x0处不连续
B、 若 f ( x ) 在 x 0 处连续,则 1 f ( x ) 处也连续 若f(x) 在x_0处连续,则\frac{1}{f(x)} 处也连续 f(x)x0处连续,则f(x)1处也连续
C、 若 f ( x ) 在 x 0 处连续,则 ∣ f ( x ) ∣ 在 x 0 处也连续 若f(x)在x_0处连续,则|f(x)|在x_0处也连续 f(x)x0处连续,则f(x)x0处也连续
D、 若 f ( x ) 在 x 0 处连续, f ( x ) ≠ 0 , 且 f ( x ) g ( x ) 在 x 0 处连续,则 g ( x ) 在 x 0 处连续 若f(x)在x_0处连续,f(x)\ne 0,且f(x)g(x)在x_0处连续,则g(x)在x_0处连续 f(x)x0处连续,f(x)=0,f(x)g(x)x0处连续,则g(x)x0处连续

知识点
1、定理(四则运算) 若函数 f ( x ) 和 g ( x ) f(x)和g(x) f(x)g(x) x 0 x_0 x0处都连续,则 f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) g ( x ) , f ( x ) g ( x ) ( g ( x 0 ) ≠ 0 ) f(x) \pm g(x),f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0)\ne 0) f(x)±g(x)f(x)g(x),g(x)f(x)(g(x0)=0) 在点 x 0 x_0 x0处也连续.

: 选项B缺少条件 f ( x ) ≠ 0 f(x) \ne 0 f(x)=0

练习2:设 a ≠ 1 2 , 则 lim ⁡ n → ∞ ln ⁡ [ n − 2 n a + 1 n ( 1 − 2 a ) ] n = a\ne \frac{1}{2},则\lim_{n \to \infty}\ln[\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}]^n= a=21,limnln[n(12a)n2na+1]n=

知识点
1、初等函数在其定义区间内都是连续的.
2、定理(复合函数的连续性) 如果函数 u = φ ( x ) 在点 x = x 0 u=\varphi(x)在点x=x_0 u=φ(x)在点x=x0处连续, φ ( x 0 ) = u 0 \varphi(x_0)=u_0 φ(x0)=u0,而函数 y = f ( u ) 在点 u = u 0 y=f(u)在点u=u_0 y=f(u)在点u=u0处连续,则复合函数 y = f [ φ ( x ) ] 在 x = x 0 y=f[\varphi(x)]在x=x_0 y=f[φ(x)]x=x0处连续。即: lim ⁡ x → x 0 f [ φ ( x ) ] = f [ φ ( x 0 ) ] \lim_{x \to x_0}f[\varphi(x)]=f[\varphi(x_0)] limxx0f[φ(x)]=f[φ(x0)]
3、两个重要极限 lim ⁡ α → 0 ( 1 + α ) 1 α = e \lim_{\alpha \to 0}(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}=e limα0(1+α)α1=e

lim ⁡ n → ∞ ln ⁡ [ n − 2 n a + 1 n ( 1 − 2 a ) ] n = ln ⁡ [ lim ⁡ n → ∞ [ n − 2 n a + 1 n ( 1 − 2 a ) ] n ] ⇒ lim ⁡ n → ∞ [ n − 2 n a + 1 n ( 1 − 2 a ) ] n = lim ⁡ n → ∞ [ 1 + 1 n ( 1 − 2 a ) ] ( 1 − 2 a ) n 1 ( 1 − 2 a ) = e 1 ( 1 − 2 a ) ⇒ lim ⁡ n → ∞ ln ⁡ [ n − 2 n a + 1 n ( 1 − 2 a ) ] n = 1 ( 1 − 2 a ) \lim_{n \to \infty}\ln[\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}]^n=\ln[{\lim_{n \to \infty}[\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}]^n]}\\ \quad \\ \Rightarrow \lim_{n \to \infty}[\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}]^n=\lim_{n \to \infty}[1+\frac{1}{n(1-2a)}]^{(1-2a)n\frac{1}{(1-2a)}}=e^{\frac{1}{(1-2a)}}\\ \quad \\ \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\ln[\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}]^n=\frac{1}{(1-2a)} nlimln[n(12a)n2na+1]n=ln[nlim[n(12a)n2na+1]n]nlim[n(12a)n2na+1]n=nlim[1+n(12a)1](12a)n(12a)1=e(12a)1nlimln[n(12a)n2na+1]n=(12a)1

练习3 lim ⁡ x → 0 ln ⁡ x 2 + 9 sin ⁡ ( 1 + x 2 ) \lim_{x \to 0}\frac{\ln {\sqrt{x^2+9}}}{\sin(1+x^2)} limx0sin(1+x2)lnx2+9 =

知识点
1、初等函数在其定义区间内都是连续的.
2、定理 基本初等函数在其定义域内都是连续的.

lim ⁡ x → 0 ln ⁡ x 2 + 9 sin ⁡ ( 1 + x 2 ) 在 x = 0 时连续且有定义,即 ⇒ = ln ⁡ 0 + 9 sin ⁡ ( 1 + 0 ) = ln ⁡ 3 sin ⁡ ( 1 ) \lim_{x \to 0}\frac{\ln {\sqrt{x^2+9}}}{\sin(1+x^2)}在x=0时连续且有定义,即\\ \quad \\ \Rightarrow=\frac{\ln {\sqrt{0+9}}}{\sin(1+0)}=\frac{\ln 3}{\sin(1)} x0limsin(1+x2)lnx2+9 x=0时连续且有定义,即⇒=sin(1+0)ln0+9 =sin(1)ln3

练习4:设函数 f ( x ) = { 1 − cos ⁡ x a x , x > 0 b , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax} ,\quad x>0\\ \quad \\ b,\quad x\le 0 \end{cases} f(x)= ax1cosx ,x>0b,x0 x = 0 x=0 x=0处连续,则ab=?

知识点
1、定理函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续的充要条件是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0既左连续又右连续
2、等价无穷小 1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 1cosx21x2

lim ⁡ x → 0 + f ( x ) = lim ⁡ x → 0 + 1 − cos ⁡ x a x = 1 2 a lim ⁡ x → 0 − f ( x ) = b ⇒ 1 2 a = b = f ( 0 = b ) ⇒ a b = 1 2 \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax}=\frac{1}{2a}\\ \quad \\ \lim_{x \to 0^-}f(x)=b \\ \quad \\ \Rightarrow \frac{1}{2a}=b=f(0=b)\Rightarrow ab= \frac{1}{2} x0+limf(x)=x0+limax1cosx =2a1x0limf(x)=b2a1=b=f(0=b)ab=21

练习5:设函数 f ( x ) = { − 1 , x < 0 1 , x ≥ 0 , g ( x ) = { 2 − a x , x ≥ − 1 x , − 1 < x < 0 x − b , x ≥ 0 f(x)=\begin{cases} -1 ,\quad x<0\\ \quad \\ 1,\quad x\ge 0 \end{cases},g(x)=\begin{cases} 2-ax ,\quad x\ge -1\\ \quad \\ x,\quad -1<x<0 \\ \quad \\ x-b ,\quad x\ge 0 \end{cases} f(x)= 1,x<01,x0g(x)= 2ax,x1x,1<x<0xb,x0 x = 0 x=0 x=0,若f(x)+g(x)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)处连续,则a=,b=?

知识点
1、分段函数多数不是初等函数,在定义域内除分界点之外的点,往往都是连续,但在分界点上不一定连续。
2、定理函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续的充要条件是 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0既左连续又右连续。

令 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = { 1 − a x , x ≤ − 1 x − 1 , − 1 < x < 0 x − b + 1 , x ≥ 0 ⇒ { lim ⁡ x → − 1 − F ( x ) = 1 − a x = 1 + a lim ⁡ x → − 1 + F ( x ) = x − 1 = − 2 lim ⁡ x → 0 − F ( x ) = x − 1 = − 1 lim ⁡ x → 0 + F ( x ) = x − b + 1 = 1 − b ⇒ { lim ⁡ x → − 1 − F ( x ) = lim ⁡ x → − 1 + F ( x ) ⇒ a = − 3 lim ⁡ x → − 0 − F ( x ) = lim ⁡ x → − 0 + F ( x ) ⇒ b = 2 令F(x)=f(x)+g(x)=\begin{cases}1-ax ,\quad x\le -1\\ \quad \\ x-1 ,\quad -1<x<0 \\ \quad \\ x-b+1 ,\quad x\ge 0 \end{cases}\\ \quad \\ \Rightarrow \begin{cases} \lim_{x\to -1^-}F(x)=1-ax=1+a \\ \quad \\ \lim_{x\to -1^+}F(x)=x-1=-2\\ \quad \\ \lim_{x\to 0^-}F(x) =x-1=-1 \\ \quad \\ \lim_{x\to 0^+}F(x) =x-b+1=1-b\end{cases}\\ \quad \\ \Rightarrow \begin{cases}\lim_{x\to -1^-}F(x)=\lim_{x\to -1^+}F(x) \Rightarrow a=-3 \\ \quad \\ \lim_{x\to -0^-}F(x)=\lim_{x\to -0^+}F(x) \Rightarrow b=2 \end{cases} F(x)=f(x)+g(x)= 1ax,x1x1,1<x<0xb+1,x0 limx1F(x)=1ax=1+alimx1+F(x)=x1=2limx0F(x)=x1=1limx0+F(x)=xb+1=1b limx1F(x)=limx1+F(x)a=3limx0F(x)=limx0+F(x)b=2


原文地址:https://blog.csdn.net/henni_719/article/details/142530000

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