数学二】函数的连续性-连续性的概念、连续函数的运算及初等函数的连续性

考试要求
1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3、理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则.
7、.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

连续性的概念

定义1 设$y=f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，若$$\underset{△x\to 0}{\lim }y=\underset{△x\to 0}{\lim }[f(x_0+△x)-f(x_0)]=0$$，则称$y=f(x)$在点$x_0$处连续，并$x_0$为$f(x)$的连续点。
定义2 设$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)，则称y=f(x)$在点$x_0$处连续，$x_0$为$f(x)$的连续点。

TIPS：
1、上述两个定义是等价的，即极限值等于函数值；
2、$f(x)$在$x_0$点连续$$\iff \{\begin{array}{l}1、f(x_0)有定义\\ \\ 2、{\lim }_{x\to x_0}f(x)存在为A\\ \\ 3、A=f(x_0)\end{array}$$

定义3 若${\lim }_{x\to x_0^{-}}=f(x_0)，则称y=f(x)在x_0处左连续$；
若${\lim }_{x\to x_0^{+}}=f(x_0)，则称y=f(x)在x_0处右连续$；
定理函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续。

定义4 如果$f(x)$在区间$(a,b)$内每点都连续，则称$f(x)$在$(a,b)$内连续，若$f(x)$在区间$(a,b)$内连续，在$x=a处右连续，在x=b处左连续$，则称$f(x)$在$[a,b]$上连续。

练习1：补充定义f(x)，使$f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$在$x=0$处连续.

知识点：
1、定义2 设$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)，则称y=f(x)$在点$x_0$处连续，$x_0$为$f(x)$的连续点。
2、$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x(x\to 0)$

解：$$\begin{gathered} f(x)在x=0点连续\iff \underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0) \\ \underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=1 \\ 即f(0)=1时，f(x)在x=0处连续 \end{gathered}$$

练习2：判断函数$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x)}{x},-1<x<0\\ \\ 2,x=0\\ \\ \frac{2\sin \frac{x}{2}}{x},x>0\end{array}$$在$x=0$点的连续性.

知识点：
定理函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续。

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1\ne f(0)=2 \\ 即f(x)在x=0点处不连续 \end{gathered}$$

练习3：设函数$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}},x>0\\ \\ a{e}^{2x},x\le 0\end{array}$$在$x=0$处连续，则$a$?

知识点：
1、定理函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续。
2、$e^x-1\sim x，\arcsin x\sim x,\tan x\sim x（x\to 0）$

解：$$\begin{gathered} f(0)=a，\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}} \\ \Rightarrow =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-\tan x}{\frac{x}{2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-\tan x}{\frac{x}{2}}=-2 \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }a{e}^{2x}=a \\ 故f(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }，即a=-2 \end{gathered}$$

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算

定理（四则运算） 若函数$f(x)和g(x)$在$x_0$处都连续，则$f(x)\pm g(x)，f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0)\ne 0)$ 在点$x_0$处也连续.

定理（复合函数的连续性） 如果函数$u=\phi (x)在点x=x_0$处连续，$\phi (x_0)=u_0$，而函数$y=f(u)在点u=u_0$处连续，则复合函数$y=f[\phi (x)]在x=x_0$处连续。即：${\lim }_{x\to x_0}f[\phi (x)]=f[\phi (x_0)]$
定理（反函数的连续性） 设函数$y=f(x)$在某区间上连续，且单调增加(减少)，则它的反函数$y=f^{-1}(x)$在对应区间上连续，且单调增加(减少)。

初等函数的连续性

定理 基本初等函数在其定义域内都是连续的.
定理 初等函数在其定义区间内都是连续的
TIPS: 分段函数多数不是初等函数，在定义域内除分界点之外的点，往往都是连续，但在分界点上不一定连续。

练习1：下列命题错误的是（）

A、若$f(x)在x_0处连续，g(x)在x_0处不连续，则f(x)+g(x)在x_0处不连续$
B、$若f(x)在x_0处连续，则\frac{1}{f(x)}处也连续$
C、$若f(x)在x_0处连续，则|f(x)|在x_0处也连续$
D、$若f(x)在x_0处连续，f(x)\ne 0,且f(x)g(x)在x_0处连续，则g(x)在x_0处连续$

知识点：
1、定理（四则运算） 若函数$f(x)和g(x)$在$x_0$处都连续，则$f(x)\pm g(x)，f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0)\ne 0)$ 在点$x_0$处也连续.

解: 选项B缺少条件$f(x)\ne 0$

练习2：设$a\ne \frac{1}{2},则{\lim }_{n\to \infty }\ln [\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}{]}^n=$

知识点：
1、初等函数在其定义区间内都是连续的.
2、定理（复合函数的连续性） 如果函数$u=\phi (x)在点x=x_0$处连续，$\phi (x_0)=u_0$，而函数$y=f(u)在点u=u_0$处连续，则复合函数$y=f[\phi (x)]在x=x_0$处连续。即：${\lim }_{x\to x_0}f[\phi (x)]=f[\phi (x_0)]$
3、两个重要极限${\lim }_{\alpha \to 0}(1+\alpha {)}^{\frac{1}{\alpha }}=e$

解：$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\ln [\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}{]}^n=\ln [\underset{n\to \infty }{\lim }[\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}{]}^n] \\ \Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }[\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}{]}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }[1+\frac{1}{n(1-2a)}{]}^{(1-2a)n\frac{1}{(1-2a)}}=e^{\frac{1}{(1-2a)}} \\ \Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }\ln [\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}{]}^n=\frac{1}{(1-2a)} \end{gathered}$$

练习3：${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln \sqrt{x^2+9}}{\sin (1+x^2)}$=

知识点：
1、初等函数在其定义区间内都是连续的.
2、定理 基本初等函数在其定义域内都是连续的.

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \sqrt{x^2+9}}{\sin (1+x^2)}在x=0时连续且有定义，即 \\ \Rightarrow =\frac{\ln \sqrt{0+9}}{\sin (1+0)}=\frac{\ln 3}{\sin (1)} \end{gathered}$$

练习4：设函数$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax},x>0\\ \\ b,x\le 0\end{array}$在$x=0$处连续，则ab=？

知识点：
1、定理函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续
2、等价无穷小$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax}=\frac{1}{2a} \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=b \\ \Rightarrow \frac{1}{2a}=b=f(0=b)\Rightarrow ab=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

练习5：设函数$f(x)=\{\begin{array}{l}-1,x<0\\ \\ 1,x\ge 0\end{array}，g(x)=\{\begin{array}{l}2-ax,x\ge -1\\ \\ x,-1<x<0\\ \\ x-b,x\ge 0\end{array}$在$x=0$，若f(x)+g(x)在$(-\infty ,+\infty )$处连续，则a=,b=？

知识点
1、分段函数多数不是初等函数，在定义域内除分界点之外的点，往往都是连续，但在分界点上不一定连续。
2、定理函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续。

解：$$\begin{gathered} 令F(x)=f(x)+g(x)=\{\begin{array}{l}1-ax,x\le -1\\ \\ x-1,-1<x<0\\ \\ x-b+1,x\ge 0\end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to -1^{-}}F(x)=1-ax=1+a\\ \\ {\lim }_{x\to -1^{+}}F(x)=x-1=-2\\ \\ {\lim }_{x\to 0^{-}}F(x)=x-1=-1\\ \\ {\lim }_{x\to 0^{+}}F(x)=x-b+1=1-b\end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to -1^{-}}F(x)={\lim }_{x\to -1^{+}}F(x)\Rightarrow a=-3\\ \\ {\lim }_{x\to -0^{-}}F(x)={\lim }_{x\to -0^{+}}F(x)\Rightarrow b=2\end{array} \end{gathered}$$

原文地址：https://blog.csdn.net/henni_719/article/details/142530000

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