LC并联电路在正弦稳态下的传递函数推导（LC并联谐振选频电路）

LC并联电路在正弦稳态下的传递函数推导（LC并联谐振选频电路）

本文通过 1.解微分方程、2.阻抗模型两种方法推导 LC 并联选频电路在正弦稳态条件下的传递函数，并通过仿真验证不同频率时 v_o(t) 与 v_i(t) 的幅值相角的关系。

电路介绍

已知条件

电路结构如下

• R：电阻值
• C：电容值
• L：电感值
• 输入电源v_i(t)
  $$v_i(t)=V_{I}cos(wt)$$

其中

$$\begin{array}{c}{V}_I：输入电压的幅值\\ w：输入电源的角频率\\ \frac{w}{2\pi }：输入正弦信号的频率\end{array}$$

理论计算

1.解微分方程法

解微分方程法常用的四个步骤

1. 根据节点法列写微分方程
2. 找出特解 v_p(t)
3. 找出对应的齐次方程的通解 v_h(t)
4. 根据初始条件计算通解中的常数参数

总的通解为特解+齐次解

$v(t)=v_p(t)+v_h(t)$

$v_p(t)$ ，特解

$v_h(t)$ ，齐次解

1.1 列些微分方程

前置知识

• 电容伏安特性：$i=C\frac{dv}{dt}$
• 电感伏安特性：$v=L\frac{di}{dt}$
• 电感伏安特性的积分形式：
  $$\frac{1}{L}\begin{array}{r}\underset{-\infty }{\overset{t}{\int }}v\mathrm{d}t\end{array}=i$$

节点法列方程

$$\frac{v_i(t)-v_o(t)}{R}=C\frac{d{v}_o(t)}{dt}+\frac{1}{L}\begin{array}{r}\underset{-\infty }{\overset{t}{\int }}{v}_o(t)\mathrm{d}t\end{array}$$

整理移相得

$$\frac{v_i(t)}{R}=C\frac{d{v}_o(t)}{dt}+\frac{1}{L}\begin{array}{r}\underset{-\infty }{\overset{t}{\int }}{v}_o(t)\mathrm{d}t\end{array}+\frac{v_o(t)}{R}$$

等式两边对 t 微分，且带入 $
v_i(t) = V_Icos(wt)
$ 可得：

$$\begin{array}{c}\frac{-w{V}_{I}sin(wt)}{R}=\\ C\frac{d{v}_o^2(t)}{d{t}^2}+\frac{1}{R}\frac{d{v}_o(t)}{dt}+\frac{1}{L}{v}_o(t)\end{array}$$

1.2 找特解

设 v_o(t) 的特解的形式为 $v_p(t)=Acos(wt+\varphi )$，其中 A 和 ∅ 为要求得未知量，将 v_p(t) 带入微分方程，可得：

$$\begin{array}{c}\frac{-w{V}_{I}sin(wt)}{R}=-C{w}^{2}Acos(wt+\varphi )\\ -\frac{1}{R}wAsin(wt+\varphi )+\frac{1}{L}Acos(wt+\varphi )\end{array}$$

利用三角函数的公式可得：

$$\begin{array}{c}\frac{-w{V}_{I}sin(wt)}{R}=-C{w}^{2}Acos(wt)cos(\varphi )+\\ C{w}^{2}Asin(wt)sin(\varphi )-\frac{wA}{R}sin(wt)cos(\varphi )\\ -\frac{wA}{R}cos(wt)sin(\varphi )+\frac{A}{L}cos(wt)cos(\varphi )\\ -\frac{A}{L}sin(wt)sin(\varphi )\end{array}$$

合并同类项

$$\begin{array}{c}\frac{-w{V}_{I}sin(wt)}{R}=\\ (\frac{A}{L}-C{w}^{2}A)cos(wt)cos(\varphi )+\\ (C{w}^{2}A-\frac{A}{L})sin(wt)sin(\varphi )-\\ \frac{wA}{R}sin(wt)cos(\varphi )\\ -\frac{wA}{R}cos(wt)sin(\varphi )\end{array}$$

提公因式

$$\begin{array}{c}\frac{-w{V}_{I}sin(wt)}{R}=\\ (\frac{A}{L}-C{w}^{2}A)(cos(wt)cos(\varphi )\\ -sin(wt)sin(\varphi ))\\ -\frac{wA}{R}(sin(wt)cos(\varphi )\\ +cos(wt)sin(\varphi ))\end{array}$$

利用三角函数公式合并

$$\begin{array}{c}\frac{-w{V}_{I}sin(wt)}{R}=\\ (\frac{A}{L}-C{w}^{2}A)cos(wt+\varphi )\\ -\frac{wA}{R}sin(wt+\varphi )\end{array}$$

根据以下公式

$$\begin{array}{c}{A}_{1}cos(\theta )-A_{2}sin(\theta )\\ =\sqrt{A_1^2+A_2^2}sin(\theta -ta{n}^{-1}(\frac{A_1}{A_2}))\end{array}$$

可以继续合并化简为：

$$\begin{array}{c}\frac{-w{V}_{I}sin(wt)}{R}=\\ \sqrt{(\frac{A}{L}-C{w}^{2}A{)}^2+(\frac{wA}{R}{)}^2}\ast \\ sin(wt+\varphi -ta{n}^{-1}(\frac{\frac{A}{L}-C{w}^{2}A}{\frac{wA}{R}}))\end{array}$$

令对应位置相等，可得

$$\begin{array}{c}\frac{-w{V}_I}{R}=\sqrt{(\frac{A}{L}-C{w}^{2}A{)}^2+(\frac{wA}{R}{)}^2}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\varphi =ta{n}^{-1}(\frac{R(1-C{w}^{2}L)}{wL})\end{array}$$

化简上式可得

$$\begin{array}{c}\frac{(w{V}_I{)}^2}{R^2}=(\frac{A}{L}-C{w}^{2}A{)}^2+(\frac{wA}{R}{)}^2\end{array}$$

分解因式

$$\begin{array}{c}\frac{(w{V}_I{)}^2}{R^2}=\\ \frac{A^2}{L^2}+(C{w}^{2}A{)}^2-2\frac{A}{L}C{w}^{2}A+(\frac{wA}{R}{)}^2\end{array}$$

两边同时乘以 L²R²

$$\begin{array}{c}(Lw{V}_I{)}^2=A^2{R}^2+(LRC{w}^{2}A{)}^2\\ -2A^{2}L{R}^{2}C{w}^2+(LwA{)}^2\end{array}$$

提出 A 移项整理得

$$\begin{array}{c}{A}^2=\frac{(Lw{V}_I{)}^2}{R^2+(LRC{w}^2{)}^2-2L{R}^{2}C{w}^2+(Lw{)}^2}\end{array}$$

分式上下同时除以 (Lw)² 得

$$\begin{array}{c}{A}^2=\frac{V_I^2}{(\frac{R}{Lw}{)}^2+(RCw{)}^2-\frac{2R^{2}C}{L}+1}\end{array}$$

两边开方，同时只取正解

$$\begin{array}{c}A=\frac{V_I}{\sqrt{(\frac{R}{Lw}{)}^2+(RCw{)}^2-\frac{2R^{2}C}{L}+1}}\end{array}$$

因此，可得 v_p 为

$$v_p(t)=Acos(wt+\varphi )$$

其中：

$$\begin{array}{c}A=\frac{V_I}{\sqrt{(\frac{R}{Lw}{)}^2+(RCw{)}^2-\frac{2R^{2}C}{L}+1}}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\varphi =ta{n}^{-1}(\frac{R(1-C{w}^{2}L)}{wL})\end{array}$$

1.3 找通解

微分方程对应的齐次方程为

$$\begin{array}{c}0=C\frac{d{v}_o^2(t)}{d{t}^2}+\frac{1}{R}\frac{d{v}_o(t)}{dt}+\frac{1}{L}{v}_o(t)\end{array}$$

设齐次微分方程解的形式为

$$\begin{array}{c}{v}_h=A{e}^{st}\end{array}$$

其中 A 和 s 为待确定的参数，带入可得

$$\begin{array}{c}0=CA{s}^2{e}^{st}+\frac{1}{R}sA{e}^{st}+\frac{1}{L}A{e}^{st}\end{array}$$

不考虑 A 为 0 的情况，约掉同类项后可得

$$\begin{array}{c}0=C{s}^2+\frac{1}{R}s+\frac{1}{L}\end{array}$$

解得

$$\begin{array}{c}{s}_1=\frac{-(\frac{1}{R}-\sqrt{\frac{1}{R^2}-\frac{4C}{L}})}{2C}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{s}_2=\frac{-(\frac{1}{R}+\sqrt{\frac{1}{R^2}-\frac{4C}{L}})}{2C}\end{array}$$

可得

$$\begin{array}{c}{v}_h=A_1{e}^{s_{1}t}+A_2{e}^{s_{2}t}\end{array}$$

因为 C > 0，L > 0，所以

$$\begin{array}{c}(\frac{1}{R^2}-\frac{4C}{L})<\frac{1}{R^2}\end{array}$$

所以
$$\begin{array}{c}(\frac{1}{R}-\sqrt{\frac{1}{R^2}-\frac{4C}{L}})>0\end{array}$$

所以 s₁ < 0，s₂ < 0

同时，我们讨论的是正弦稳态的情况下的响应，所以 t 趋近于无限长，此时

$$A_1{e}^{s_{1}t}\to 0,A_2{e}^{s_{2}t}\to 0$$

所以 v_h = 0。

1.4 根据初始条件确定参数

由于稳态条件下通解为 0， 所以这一步不需要了。

1.5 最终的解

至此，用微分方程的方法得到的最终的解为

$$v_o(t)=v_p(t)+v_h(t)$$

即

$$v_o(t)=Acos(wt+\varphi )$$

其中：

$$\begin{array}{c}A=\frac{V_I}{\sqrt{(\frac{R}{Lw}{)}^2+(RCw{)}^2-\frac{2R^{2}C}{L}+1}}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\varphi =ta{n}^{-1}(\frac{R(1-C{w}^{2}L)}{wL})\end{array}$$

2.阻抗模型方法

阻抗模型下的电路示意图

2.1 基础知识

电阻的阻抗模型：
$$Z_R=R$$

电容的阻抗模型：

$$Z_C=\frac{1}{jwC}$$

电感的阻抗模型：

$$Z_L=jwL$$

阻抗模型里，输入输出都是复数。

复数输入 V_i 为：

$$V_i=V_I{e}^{jwt}$$

复数输出 V_o 为：

$$V_o=V_O{e}^{jwt+\varphi }$$

2.2 计算过程

阻抗模型的适用条件是正弦稳态条件下，可以直接利用分压法进行计算。

$$V_o(t)=V_i(t)\frac{Z_C//Z_L}{Z_R+Z_C//Z_L}$$

其中

$$Z_C//Z_L=\frac{1}{jwC+\frac{1}{jwL}}$$

带入，可得

$$\begin{array}{c}\frac{Z_C//Z_L}{Z_R+Z_C//Z_L}=\frac{\frac{1}{jwC+\frac{1}{jwL}}}{R+\frac{1}{jwC+\frac{1}{jwL}}}\end{array}$$

分子分母同时除以

$$\frac{1}{jwC+\frac{1}{jwL}}$$

可得

$$\begin{array}{c}\frac{Z_C//Z_L}{Z_R+Z_C//Z_L}=\frac{1}{R(jwC+\frac{1}{jwL})+1}\end{array}$$

继续化简

$$\begin{array}{c}\frac{Z_C//Z_L}{Z_R+Z_C//Z_L}=\frac{1}{j(RwC-\frac{R}{wL})+1}\end{array}$$

用复数的角坐标表示

$$\begin{array}{c}\frac{Z_C//Z_L}{Z_R+Z_C//Z_L}=\frac{1}{\sqrt{1+(RwC-\frac{R}{wL}{)}^2}{e}^{jta{n}^{-1}(RwC-\frac{R}{wL})}}\end{array}$$

拆分并化简倒数为负指数
$$\begin{array}{c}\frac{Z_C//Z_L}{Z_R+Z_C//Z_L}=\frac{1}{\sqrt{1+(RwC-\frac{R}{wL}{)}^2}}{e}^{-jta{n}^{-1}(RwC-\frac{R}{wL})}\end{array}$$

将V_i(t)，V_o(t)以及上边的传递函数带入

$$\begin{array}{c}{V}_o(t)=V_i(t)\frac{Z_C//Z_L}{Z_R+Z_C//Z_L}\end{array}$$

可得

$$\begin{array}{c}{V}_O{e}^{j(wt+\varphi )}=\\ V_I{e}^{jwt}\frac{1}{\sqrt{1+(RwC-\frac{R}{wL}{)}^2}}{e}^{-jta{n}^{-1}(RwC-\frac{R}{wL})}\end{array}$$

合并化简可得

$$\begin{array}{c}{V}_O{e}^{j(wt+\varphi )}=\\ \frac{V_I}{\sqrt{1+(RwC-\frac{R}{wL}{)}^2}}{e}^{j(wt-ta{n}^{-1}(RwC-\frac{R}{wL}))}\end{array}$$

取对应项相等，可得

$$\begin{array}{c}{V}_O=\frac{V_I}{\sqrt{1+(RwC-\frac{R}{wL}{)}^2}}\end{array}$$

$$\varphi =-ta{n}^{-1}(RwC-\frac{R}{wL})$$

根据欧拉公式展开，并取虚部即为要求的时域部分的结果

$$v_o(t)=V_{O}cos(wt+\varphi )$$

其中

$$V_O=\frac{V_I}{\sqrt{1+(RwC-\frac{R}{wL}{)}^2}}$$

$$\varphi =-ta{n}^{-1}(RwC-\frac{R}{wL})$$

与微分方程计算的结果一致。

绘制函数曲线

传递函数

使用函数绘制工具，以 w 作为变量，绘制传递函数的曲线，并调整 L,R,C 参数，观察不同参数对传递函数的影响，绘制演示如下

下面视频是不同 w 下的幅值变化曲线，可以观察到改变 L 可以调整谐振频率，更改 C 既会影响谐振频率，又会改变通频带的胖瘦（品质因数 Q ），更改 R 只改变胖瘦（品质因数 Q ），不改变谐振频率，在谐振频率处传递函数的幅值为1，说明输出幅值与输入幅值相等。

下面是不同 w 下的相角变化曲线，上下的角度是正负 90°，改变 R 不会改变谐振频率，在谐振频率相角为 0°。

通过曲线图可以看到，电阻会影响品质因数，但是不会改变谐振频率，谐振频率处的输出信号幅值与输入相等，相角偏移为0，说明谐振时，输出与输入完全一致。

谐振频率为：

$$F=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

电路的品质因数 Q 为谐振频率 与 带宽的比值，带宽是幅值为幅值为谐振点幅值的 0.707 倍时的频率点的差值，因此，波形越瘦，电路的品质因数越高，改变电阻可以改变品质因数。

仿真验证

下图仿真在谐振点时输入信号与输出信号完全相同

下图是扫频的仿真，可以看到，在谐振点处传递函数幅值最大为 1，且相角为0.

参考

正弦稳态：https://www.bilibili.com/video/BV1ts411v7Ep?p=17

阻抗模型：https://www.bilibili.com/video/BV1ts411v7Ep?p=19

电路的 Q 值： https://www.crystal-radio.eu/enlckring.htm#q

原文地址：https://blog.csdn.net/YanDabbs/article/details/142303296

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