Math Reference Notes: 数学基本概念
1. 数与运算
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自然数（
Natural Numbers）-
定义：从 1 1 1 开始的正整数集合 { 1 , 2 , 3 , … } \{1, 2, 3, \ldots\} {1,2,3,…}。
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符号： N \mathbb{N} N
- 命名由来： N \mathbb{N} N 来自于英文单词 “Natural” 的首字母，表示自然数（Natural Numbers）。自然数是最基本的数系，用于计数和排序。
- 历史背景：自然数的概念可以追溯到古代文明，用于描述数量。用 N \mathbb{N} N 表示自然数集有助于在数学表达中清晰地区分自然数与其他类型的数。
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性质：
- 闭合性：自然数集在加法和乘法运算下是闭合的，即两个自然数相加或相乘的结果仍然是自然数。
- 单位元素： 1 1 1 是乘法的单位元素，即对任何自然数 a a a，有 a × 1 = a a \times 1 = a a×1=a。
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应用：用于计数和排序。
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整数（
Integers）- 定义：包括正整数、零和负整数的集合 { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … } \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}。
- 符号：
Z
\mathbb{Z}
Z
- 命名由来： Z \mathbb{Z} Z 来自于德语单词 “Zahlen” 的首字母，意思是 “数字” 或 “整数”（Numbers）。
- 历史背景：整数包括正整数、零和负整数。用 Z \mathbb{Z} Z 表示整数集是由德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）引入的，旨在简化代数和数论中的符号表示。
- 性质：
- 闭合性：整数集在加法、减法和乘法运算下是闭合的。
- 加法逆元素：每个整数都有一个相反数，使得它们相加为零。
- 应用：表示增减、温度变化等。
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有理数（
Rational Numbers）- 定义：可以表示为两个整数之比的数，即形如 a b \frac{a}{b} ba 的数，其中 a a a 和 b b b 是整数且 b ≠ 0 b \neq 0 b=0。
- 符号：
Q
\mathbb{Q}
Q
- 命名由来： Q \mathbb{Q} Q 来自于英文单词 “Quotient” 的首字母，意思是 “商”。有理数是可以表示为两个整数之商的数。
- 历史背景：有理数的概念在古希腊数学中已经出现。用 Q \mathbb{Q} Q 表示有理数集可以追溯到意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano），他在19世纪末期使用这个符号。
- 性质：有理数集在加法、减法、乘法和除法（除以零外）运算下是闭合的。
- 应用：分数、小数等。
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实数（
Real Numbers）- 定义：包括所有有理数和无理数的集合。
- 符号：
R
\mathbb{R}
R
- 命名由来： R \mathbb{R} R 来自于英文单词 “Real” 的首字母，表示实数（Real Numbers）。实数包括所有有理数和无理数。
- 历史背景：实数的概念在17世纪由数学家笛卡尔（René Descartes）正式引入。用 R \mathbb{R} R 表示实数集使得数学表达更加简洁和规范。
- 性质：实数集在加法、减法、乘法和除法（除以零外）运算下是闭合的，可以在数轴上表示。
- 应用：度量长度、面积、体积等。
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无理数（
Irrational Numbers）- 定义：不能表示为两个整数之比的数，如 π \pi π、 2 \sqrt{2} 2。
- 性质：无理数在小数形式下是无限不循环小数。
- 应用：描述某些几何长度，如圆的周长与直径的比值。
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复数（
Complex Numbers）-
定义：由实数部分和虚数部分组成，形如 a + b i a + bi a+bi，其中 i i i 是虚数单位，满足 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1。
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符号： C \mathbb{C} C
- 命名由来： C \mathbb{C} C 来自于英文单词 “Complex” 的首字母，表示复数（Complex Numbers）。复数包括实数和虚数部分。
- 历史背景：复数的概念在16世纪由意大利数学家杰罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano）首次引入。用 C \mathbb{C} C 表示复数集有助于统一复数的表示，尤其在复杂分析和电工程等领域中广泛应用。
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性质：复数集在加法、减法、乘法和除法运算下是闭合的。
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应用：描述电路、振动等物理现象。
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2. 代数概念
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变量（
Variables）- 定义：用于表示数值的符号，常用字母表示，如 x x x、 y y y。
- 应用：在方程和函数中用于表示未知数或自变量。
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常数（
Constants）- 定义：固定不变的数值，如 3 3 3、 − 5 -5 −5、 π \pi π。
- 应用：表示已知的固定量。
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表达式（
Expressions）- 定义：由数字、变量和运算符构成的数学式，如 2 x + 3 2x + 3 2x+3、 x 2 − 4 x + 4 x^2 - 4x + 4 x2−4x+4。
- 应用：表示数量关系和运算过程。
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方程（
Equations）- 定义：包含一个或多个变量的等式，如 2 x + 3 = 7 2x + 3 = 7 2x+3=7。
- 应用：通过代数运算找到使等式成立的变量值。
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不等式（
Inequalities）- 定义：表示两个表达式之间的大小关系，如 x > 3 x > 3 x>3、 2 x + 3 ≤ 7 2x + 3 \leq 7 2x+3≤7。
- 应用：表示范围和约束条件。
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函数（
Functions）- 定义：将每个输入值映射到唯一输出值的规则或关系，如 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2。
- 表示法：函数可以用图像、公式、表格等表示。
- 应用：描述变量之间的关系。
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多项式（
Polynomials）- 定义：由变量和系数构成的代数表达式，形如 a x n + b x n − 1 + ⋯ + c ax^n + bx^{n-1} + \cdots + c axn+bxn−1+⋯+c。
- 性质：多项式的加法、减法、乘法和除法（除零多项式外）运算。
- 应用：表示复杂的代数关系。
3. 几何与拓扑
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点、线、面、体（
Points,Lines,Planes,Solids）- 点：没有大小，仅表示位置。
- 线：由点的集合形成，可以是直线、射线或线段。
- 面：有长度和宽度，如平面。
- 体：有长度、宽度和高度，如立方体、球体。
- 应用：描述空间位置和形状。
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角度（
Angles）- 定义：两条射线的夹角，用度（°）或弧度表示。
- 类型：锐角（<90°）、直角（90°）、钝角（>90°）。
- 应用：测量旋转或转动的大小。
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平行与垂直（
Parallel and Perpendicular）- 平行：两条线永不相交。
- 垂直：两条线相交成直角（90°）。
- 应用：描述线与线之间的关系。
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几何变换（
Geometric Transformations）- 平移：沿某个方向移动图形。
- 旋转：绕某个点或轴旋转图形。
- 反射：关于某条线翻转图形。
- 缩放：按比例放大或缩小图形。
- 应用：改变图形的位置和大小。
4. 微积分
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极限（
Limits）- 定义：描述函数在某一点或无穷远处的行为，如 lim x → 0 sin x x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 limx→0xsinx=1。
- 应用：用于定义导数和积分。
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导数（
Derivatives）- 定义：函数变化率，如 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 表示 f ( x ) f(x) f(x) 相对于 x x x 的变化率。
- 应用：用于研究函数的变化趋势和优化问题。
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积分（
Integrals）- 定义：函数在一定区间内的累积量，如定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b f(x) \, dx ∫abf(x)dx。
- 应用：用于计算面积、体积和解决微分方程。
5. 概率与统计
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概率（
Probability）- 定义：描述事件发生的可能性，范围在0到1之间。
- 计算：基本公式 P ( A ) = 事件A发生的次数 总试验次数 P(A) = \frac{\text{事件A发生的次数}}{\text{总试验次数}} P(A)=总试验次数事件A发生的次数。
- 应用：评估事件的发生机会。
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随机变量（
Random Variables）- 定义：取决于随机试验结果的变量，可以是离散的或连续的。
- 分布：离散随机变量的概率分布、连续随机变量的概率密度函数。
- 应用：描述随机现象的结果。
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统计量（
Statistics）- 均值：数据的平均值。
- 中位数：数据的中间值。
- 方差：数据的离散程度的度量。
- 应用：总结和分析数据的主要特征。
6. 逻辑与集合论
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命题（
Propositions）- 定义：可判断真假的陈述。
- 类型：真命题、假命题。
- 应用：逻辑推理和证明。
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逻辑运算（
Logical Operations）- 与（AND）：两个命题都为真时，结果为真。
- 或（OR）：至少一个命题为真时，结果为真。
- 非（NOT）：命题为假时，结果为真，反之亦然。
- 应用：组合和操作命题。
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集合（
Sets）- 定义：特定对象的集合，如 { 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} {1,2,3} 表示一个包含1, 2, 3的集合。
- 运算：交集（ ∩ \cap ∩）、并集（ ∪ \cup ∪）、补集（ A ˉ \bar{A} Aˉ）。
- 应用：组织和分类对象。
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子集（
Subsets）- 定义：如果集合A的所有元素都属于集合B，则A是B的子集。
- 表示法： A ⊆ B A \subseteq B A⊆B。
- 应用：表示包含关系。
7. 数列与级数
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数列（
Sequences）- 定义：按一定规则排列的一列数，如等差数列（每一项与前一项的差相等）和等比数列（每一项与前一项的比相等）。
- 应用：描述递进关系。
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级数（
Series）- 定义：数列各项的和，如无穷级数表示数列无限多项的和。
- 应用：求和和分析收敛性。
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