Java 二叉数(1)
一、认识树
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。
注意：
- 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
- 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点
- 一棵n个节点的树有n-1条边
二、树中的概念
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度 如上图：A的度为3
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度 如上图：树的度为3
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点 如上图：K J L节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点 如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度：树中结点的最大层次 如上图：树的高度为4
树的深度：节点的相对位置，如上图：B的深度是2，E的深度是3，J的深度是4
三、二叉树
1、概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
注意：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
2、两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是
，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。也就是从上到下，从左到右，需要依次放节点，不能跳着放。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
没有11节点，直接10到12，这就不是完全二叉树
3、二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
度为0的节点会比度为2的节点多一个
公式推导：
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为
上取整
求解上述二叉树的深度：节点n=9 9+1=10 因此取4
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
例如：
已知孩子节点下标是i，求父亲节点：（i-1）/ 2
已知父亲节点下标是i，左孩子：2*i+1，右孩子：2*i+2（前提：孩子节点序数小于n）
4、例题
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
题解：n0 = n2+1 = 200
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
偶数个节点
n0:
n1: 1
n2:
奇数个节点
n0:
n1: 0
n2:
题解：
2n是个偶数，所以2n = n0+1+n2
n0=n2+1
所以2n = n0 + 1 + n0 - 1
n0 = n
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
题解：
767是奇数，所以767 = n0+n2=n0+n0-1
n0=384
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
题解：根据之前的性质4： 具有n个结点的完全二叉树的深度k为
k= 10
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