多层感知机paddle

多层感知机——paddle部分

本文部分为paddle框架以及部分理论分析，torch框架对应代码可见多层感知机

import paddle
print("paddle version:",paddle.__version__)

paddle version: 2.6.1

多层感知机（MLP，也称为神经网络）与线性模型相比，具有以下几个显著的优势：

1. 非线性建模能力：线性模型，如线性回归或逻辑回归，仅能够学习输入和输出之间的线性关系。然而，在现实世界中，许多问题和数据的关系是非线性的。多层感知机通过引入激活函数（如Sigmoid、ReLU等），能够在神经元之间创建非线性关系，从而能够捕捉和模拟更复杂的非线性模式。

2. 强大的表征学习能力：多层感知机通过多层网络结构，能够学习到输入数据的层次化特征表示。每一层都可以被视为对输入数据进行的一种非线性变换，通过逐层传递，网络可以逐渐抽取出更高级、更抽象的特征，这有助于模型处理复杂的任务。

3. 自动特征提取：在传统的机器学习模型中，特征工程是一个重要的步骤，需要人工设计和选择特征。然而，多层感知机具有自动学习和提取有用特征的能力。通过训练，网络可以自动发现数据中的重要特征，并据此进行预测和分类，从而减少了特征工程的依赖。

4. 强大的泛化能力：由于多层感知机能够学习到数据的复杂非线性关系，并且具有自动特征提取的能力，因此它通常具有很好的泛化性能。这意味着训练好的模型能够较好地处理未见过的数据，这是机器学习模型的重要性能之一。

5. 适应性强：多层感知机可以处理各种类型的数据，包括图像、文本、音频等。通过调整网络结构和参数，可以灵活地适应不同的学习任务和数据集。

6. 持续优化和改进：多层感知机可以通过不同的优化算法（如梯度下降法）进行训练和调整，以不断改进模型的性能。此外，随着深度学习技术的不断发展，多层感知机的结构和训练方法也在不断优化和改进，使其在各种任务中取得更好的性能。

多层感知机（MLP）原理

多层感知机（Multilayer Perceptron, MLP）是一种前馈神经网络，由输入层、一个或多个隐藏层和输出层组成。每一层由若干个神经元构成，每个神经元执行线性变换和非线性激活。

网络结构

设：

• 输入向量为 $\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T$
• 权重矩阵为 ${\mathbf{W}}^{(l)}$ 和偏置向量为 ${\mathbf{b}}^{(l)}$
• 激活函数为 $\varphi (\cdot )$

第 $l$ 层的输出 ${\mathbf{h}}^{(l)}$ 可以表示为：
$${\mathbf{h}}^{(l)}=\varphi ({\mathbf{W}}^{(l)}{\mathbf{h}}^{(l-1)}+{\mathbf{b}}^{(l)})$$
其中，${\mathbf{h}}^{(0)}=\mathbf{x}$ 表示输入层的输出。

每一层的计算过程包括线性变换和非线性变换：

1. 线性变换：
   $${\mathbf{a}}^{(l)}={\mathbf{W}}^{(l)}{\mathbf{h}}^{(l-1)}+{\mathbf{b}}^{(l)}$$
2. 非线性变换（激活函数）：
   $${\mathbf{h}}^{(l)}=\varphi ({\mathbf{a}}^{(l)})$$

前向传播

前向传播是指从输入层到输出层的计算过程。通过前向传播可以得到网络的输出 $\hat{\mathbf{y}}$。

对于一个三层的网络（输入层、一个隐藏层、输出层），前向传播的计算过程如下：

1. 输入层到隐藏层：
   $${\mathbf{a}}^{(1)}={\mathbf{W}}^{(1)}\mathbf{x}+{\mathbf{b}}^{(1)}$$
   $${\mathbf{h}}^{(1)}=\varphi ({\mathbf{a}}^{(1)})$$

2. 隐藏层到输出层：
   $${\mathbf{a}}^{(2)}={\mathbf{W}}^{(2)}{\mathbf{h}}^{(1)}+{\mathbf{b}}^{(2)}$$
   $$\hat{\mathbf{y}}=\varphi ({\mathbf{a}}^{(2)})$$

损失函数

损失函数 $L(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})$ 用于衡量预测值 $\hat{\mathbf{y}}$ 和目标值 $\mathbf{y}$ 之间的差异。常用的损失函数有均方误差和交叉熵损失。

对于均方误差：
$$L(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}{\Vert }^2$$

反向传播

反向传播（Backpropagation）是通过计算损失函数相对于各层参数的梯度，从而更新网络参数以最小化损失函数的过程。

反向传播的关键步骤如下：

1. 计算输出层的误差：
   $${\delta }^{(L)}=\frac{\partial L}{\partial {\mathbf{a}}^{(L)}}=(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y})\odot {\varphi }^{\prime }({\mathbf{a}}^{(L)})$$

2. 计算隐藏层的误差：
   $${\delta }^{(l)}=({\mathbf{W}}^{(l+1)}{)}^T{\delta }^{(l+1)}\odot {\varphi }^{\prime }({\mathbf{a}}^{(l)})$$
   其中，$\odot$ 表示元素逐个相乘，${\varphi }^{\prime }({\mathbf{a}}^{(l)})$ 是激活函数的导数。

3. 计算梯度：
   $$\frac{\partial L}{\partial {\mathbf{W}}^{(l)}}={\delta }^{(l)}({\mathbf{h}}^{(l-1)}{)}^T$$
   $$\frac{\partial L}{\partial {\mathbf{b}}^{(l)}}={\delta }^{(l)}$$

4. 更新权重：
   使用梯度下降法，学习率为 $\eta$：
   $${\mathbf{W}}^{(l)}\leftarrow {\mathbf{W}}^{(l)}-\eta \frac{\partial L}{\partial {\mathbf{W}}^{(l)}}$$
   $${\mathbf{b}}^{(l)}\leftarrow {\mathbf{b}}^{(l)}-\eta \frac{\partial L}{\partial {\mathbf{b}}^{(l)}}$$

通过反复进行以上步骤，网络的参数会逐渐调整，以最小化损失函数，从而提高模型的预测准确性。

激活函数

激活函数在神经网络中起着至关重要的作用，它们决定了神经网络的非线性特性和表达能力。注意，激活函数不会改变输入输出的形状，它只对每一个元素进行运算。以下是激活函数的主要作用和用途：

1. 引入非线性

神经网络的核心计算包括线性变换（矩阵乘法和加法）和非线性变换（激活函数）。如果没有激活函数，整个网络就只是线性变换的叠加，无论有多少层，最终也只是输入的线性变换，无法处理复杂的非线性问题。

通过引入非线性激活函数，神经网络能够逼近任意复杂的函数，从而具有更强的表达能力。

2. 提供特征转换

激活函数可以将线性变换的输出映射到不同的特征空间，从而使得神经网络能够捕捉输入数据的复杂特征。每一层的激活函数都对输入进行某种形式的特征转换，使得后续层能够更好地学习和提取特征。

3. 保持梯度流

在反向传播过程中，激活函数的选择会影响梯度的传播。如果激活函数的导数为0，梯度将无法传播，导致网络无法训练。适当的激活函数可以避免梯度消失和梯度爆炸问题，使得梯度能够顺利传播。

常用的激活函数

1. Sigmoid 函数
   $$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
   • 优点：输出范围在 (0, 1) 之间，便于处理概率问题。
   • 缺点：容易导致梯度消失问题，特别是在深层网络中。

import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  

# 测试sigmoid函数  
x_input = paddle.arange(-8.0, 8.0, 0.1, dtype='float32')  # 输入  
x_input.stop_gradient = False  # 允许梯度计算  
y_output = paddle.nn.functional.sigmoid(x_input)  # 输出  
  
# 绘制图像  
plt.plot(x_input.numpy(), y_output.numpy())  
plt.show()

2. Tanh 函数
   $$\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$
   • 优点：输出范围在 (-1, 1) 之间，相对于 Sigmoid 函数，梯度消失问题较少。
   • 缺点：仍然可能出现梯度消失问题。

# 测试Tanh函数  
x_input = paddle.arange(-8.0, 8.0, 0.1, dtype='float32')  # 输入  
x_input.stop_gradient = False  # 允许梯度计算  
y_output = paddle.nn.functional.tanh(x_input)  # 输出  
  
# 绘制图像  
plt.plot(x_input.numpy(), y_output.numpy())  
plt.show()

3. ReLU 函数
   $$\text{ReLU}(x)=\max (0,x)$$
   • 优点：计算简单，高效，能够缓解梯度消失问题。
   • 缺点：在训练过程中，部分神经元可能会“死亡”（即长时间输出为0），导致梯度无法更新。

# 测试ReLU函数  
x_input = paddle.arange(-8.0, 8.0, 0.1, dtype='float32')  # 输入  
x_input.stop_gradient = False  # 允许梯度计算  
y_output = paddle.nn.functional.relu(x_input)  # 输出  
  
# 绘制图像  
plt.plot(x_input.numpy(), y_output.numpy())  
plt.show()

4. Leaky ReLU 函数
   $$\text{Leaky ReLU}(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{if }x\ge 0\\ \alpha x& \text{if }x<0\end{array}$$
   • 优点：解决 ReLU 函数的神经元“死亡”问题。
   • 缺点：引入了一个需要调节的参数 $\alpha$。

# 测试Leaky ReLU函数  
x_input = paddle.arange(-8.0, 8.0, 0.1, dtype='float32')  # 输入  
x_input.stop_gradient = False  # 允许梯度计算  
y_output = paddle.nn.functional.leaky_relu(x_input, negative_slope=0.01)  # 输出  
  
# 绘制图像  
plt.plot(x_input.numpy(), y_output.numpy())  
plt.show()

5. Softmax 函数
   $$\text{Softmax}(x_i)=\frac{e^{x_i}}{{\sum }_j{e}^{x_j}}$$
   • 优点：常用于分类问题的输出层，将输入映射为概率分布。
   • 缺点：计算开销较大，容易出现数值不稳定问题。

# 测试Softmax函数  
x_input = paddle.randn((1, 10), dtype=paddle.float32)  # 输入  
x_input.stop_gradient = False  # 允许梯度计算  
y_output = paddle.nn.functional.softmax(x_input)  # 输出  
x_input, y_output

(Tensor(shape=[1, 10], dtype=float32, place=Place(gpu:0), stop_gradient=False,
        [[ 0.77194822,  0.51511782, -0.10991125,  1.85037136,  1.80251789,
           1.33102489, -1.37035322,  1.50795293, -1.83983290, -0.36562130]]),
 Tensor(shape=[1, 10], dtype=float32, place=Place(gpu:0), stop_gradient=False,
        [[0.08144495, 0.06299762, 0.03371922, 0.23945138, 0.22826263, 0.14245182,
          0.00956036, 0.17002270, 0.00597836, 0.02611103]]))

激活函数的选择

• 隐藏层：通常选择 ReLU 或其变种（如 Leaky ReLU、Parametric ReLU）作为隐藏层的激活函数，因为它们能有效缓解梯度消失问题。
• 输出层：根据具体任务选择合适的激活函数。
  • 分类问题：使用 softmax 函数将输出映射为概率分布。
  • 回归问题：使用线性函数或没有激活函数。
  • 二分类问题：使用 sigmoid 函数。

手动实现多层感知机

接下来，我们将手动设计一个多层感知机模型，并实现前向传播和反向传播算法。我们利用面向对象编程的方法，结合深度学习库进行设计。

# 手动实现一个三层感知机模型，并实现前向传播和反向传播算法
import paddle.nn as nn  
import paddle.nn.functional as F  
  
class Perceptron(nn.Layer):  
    def __init__(self, input_size, output_size, hidden_size=10):  
        super(Perceptron, self).__init__()  
        # 初始化权重和偏置  
        self.W1 = self.create_parameter(shape=[input_size, hidden_size], default_initializer=nn.initializer.Normal())  
        self.b1 = self.create_parameter(shape=[hidden_size], default_initializer=nn.initializer.Normal())  
        self.W2 = self.create_parameter(shape=[hidden_size, output_size], default_initializer=nn.initializer.Normal())  
        self.b2 = self.create_parameter(shape=[output_size], default_initializer=nn.initializer.Normal())  
          
    def forward(self, x):  
        # 前向传播  
        x = paddle.matmul(x, self.W1) + self.b1  
        x = F.relu(x)  # 激活函数  
        x = paddle.matmul(x, self.W2) + self.b2  
        return x

接下来让我们测试一下该模型的输入输出

# 检查是否有可用的GPU设备，并选择设备  
device = 'gpu' if paddle.is_compiled_with_cuda() else 'cpu'  
paddle.set_device(device)  
  
# 创建随机的输入数据  
x_input = paddle.randn([1, 10])  
  
# 实例化模型  
model = Perceptron(input_size=10, output_size=1)  
  
# 前向传播  
y_output = model(x_input)  
  
# 打印输入、输出及其形状  
print(x_input, y_output, x_input.shape, y_output.shape)

Tensor(shape=[1, 10], dtype=float32, place=Place(gpu:0), stop_gradient=True,
       [[-0.39587662, -1.33803356, -0.19662718, -0.33600944, -1.95559239,
         -0.94301635, -0.60298145,  0.75455868, -0.01416266, -3.05695415]]) Tensor(shape=[1, 1], dtype=float32, place=Place(gpu:0), stop_gradient=False,
       [[8.06220722]]) [1, 10] [1, 1]

接下来，我们导入一个California housing数据，用于训练测试多层感知机

from sklearn.model_selection import train_test_split  
from sklearn import datasets  
# 加载California housing数据集  
California = datasets.fetch_california_housing()
X = paddle.Tensor(California.data, dtype=paddle.float32)  
y = paddle.Tensor(California.target, dtype=paddle.float32)  

from sklearn.model_selection import train_test_split  
from paddle.io import Dataset, DataLoader 
  
class CustomDataset(Dataset):  
    def __init__(self, features, labels):  
        self.features = features  
        self.labels = labels  
  
    def __len__(self):  
        return len(self.labels)  
  
    def __getitem__(self, idx):  
        return self.features[idx], self.labels[idx]  
  
def create_data_loaders(features, labels, batch_size=32, test_size=0.2, random_state=42):  
    # 划分数据集  
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(features, labels, test_size=test_size, random_state=random_state)  
      
    # 创建Dataset对象  
    train_dataset = CustomDataset(X_train, y_train)  
    test_dataset = CustomDataset(X_test, y_test)  
      
    # 创建DataLoader对象  
    train_loader = DataLoader(dataset=train_dataset, batch_size=batch_size, shuffle=True)  
    test_loader = DataLoader(dataset=test_dataset, batch_size=batch_size, shuffle=True)  
      
    return train_loader, test_loader  

train_loader, test_loader = create_data_loaders(X, y, batch_size=64)

# 实例化模型  
model = Perceptron(input_size=8, output_size=1)  
  
# 定义损失函数  
criterion = paddle.nn.MSELoss()  
  
# 定义优化器  
optimizer = paddle.optimizer.Adam(parameters=model.parameters(), learning_rate=0.001)  
  
num_epochs = 100  # 定义训练轮数  
  
for epoch in range(num_epochs):  
    for batch_id, (inputs, labels) in enumerate(train_loader()):  
        # 前向传播  
        inputs = inputs.astype('float32')
        labels = labels.astype('float32')
        outputs = model(inputs)  
        labels = paddle.reshape(labels, shape=[-1, 1])  # 调整标签形状以匹配输出  
        loss = criterion(outputs, labels)  # 计算损失  
          
        # 反向传播和优化  
        loss.backward()  # 反向传播  
        optimizer.step()  # 更新权重  
        optimizer.clear_grad()  # 梯度清零，PaddlePaddle中在optimizer.step()之后需要清零梯度  
          
        if (epoch + 1) % 10 == 0:  # 每10轮输出一次损失  
            print(f'Epoch [{epoch + 1}/{num_epochs}], Loss: {loss.numpy():.4f}')  
  
# 进行测试  
model.eval()  # 设置模型为评估模式  
for batch_id, (inputs, labels) in enumerate(test_loader()):  
    inputs = inputs.astype('float32')
    labels = labels.astype('float32')
    outputs = model(inputs)  
    labels = paddle.reshape(labels, shape=[-1, 1])  # 调整标签形状以匹配输出  
    loss = criterion(outputs, labels)  # 计算损失  
      
    # 输出损失  
    print(f'Test Loss: {loss.numpy():.4f}')  
    break  # 假设我们只展示第一批测试数据的损失

Epoch [100/100], Loss: 0.6896
Test Loss: 0.5361

从上述过程中可以看到损失在不断减小，这证明模型在不断优化。然而观察X数据不难发现，X各维度之间的数值范围差异较大，这可能会导致模型在训练过程中收敛速度过慢。因此，我们可以对数据进行预处理，将数据缩放到一个较小的范围内。

import numpy as np  
  
class Preprocessor:  
    def __init__(self):  
        self.min_values = None  
        self.scale_factors = None  
  
    def normalize(self, data):  
        """  
        对输入数据进行归一化处理。  
        data: numpy数组或类似结构，其中每一列是一个特征。  
        """  
        # 确保输入是numpy数组  
        data = np.asarray(data)  
          
        # 检查是否已经拟合过数据，如果没有，则先拟合  
        if self.min_values is None or self.scale_factors is None:  
            self.fit(data)  
          
        # 对数据进行归一化处理  
        normalized_data = (data - self.min_values) * self.scale_factors  
        return normalized_data  
  
    def denormalize(self, normalized_data):  
        """  
        对归一化后的数据进行反归一化处理。  
        normalized_data: 已经归一化处理的数据。  
        """  
        # 确保输入是numpy数组  
        normalized_data = np.asarray(normalized_data)  
          
        # 反归一化数据  
        original_data = normalized_data / self.scale_factors + self.min_values  
        return original_data  
  
    def fit(self, data):  
        """  
        计算每个特征的最小值和比例因子，用于后续的归一化和反归一化。  
        data: numpy数组或类似结构，其中每一列是一个特征。  
        """  
        # 确保输入是numpy数组  
        data = np.asarray(data)  
          
        # 计算每个特征（列）的最小值  
        self.min_values = np.min(data, axis=0)  
          
        # 计算每个特征（列）的比例因子  
        ranges = np.max(data, axis=0) - self.min_values  
        # 避免除以零错误，如果范围是零，则设置为1  
        self.scale_factors = np.where(ranges == 0, 1, 1.0 / ranges)  

data_all = np.concatenate((X.numpy(), y.reshape((-1, 1)).numpy()), axis=1)
# 这样，我们在data_all中，前8列是特征量，最后一列是目标变量
preprocessor = Preprocessor()
# 归一化
data_all_normalized = preprocessor.normalize(data_all)
train_loader, test_loader = create_data_loaders(data_all_normalized[:, :8], data_all_normalized[:, 8:], batch_size=256) # 划分数据集

再次进行训练

# 实例化模型  
model = Perceptron(input_size=8, output_size=1)  
  
# 定义损失函数  
criterion = paddle.nn.MSELoss()  
  
# 定义优化器  
optimizer = paddle.optimizer.Adam(parameters=model.parameters(), learning_rate=0.001)  
  
num_epochs = 100  # 定义训练轮数  
  
for epoch in range(num_epochs):  
    for batch_id, (inputs, labels) in enumerate(train_loader()):  
        # 前向传播  
        inputs = inputs.astype('float32')
        labels = labels.astype('float32')
        outputs = model(inputs)  
        labels = paddle.reshape(labels, shape=[-1, 1])  # 调整标签形状以匹配输出  
        loss = criterion(outputs, labels)  # 计算损失  
          
        # 反向传播和优化  
        loss.backward()  # 反向传播  
        optimizer.step()  # 更新权重  
        optimizer.clear_grad()  # 梯度清零，PaddlePaddle中在optimizer.step()之后需要清零梯度  
          
        if (epoch + 1) % 10 == 0:  # 每10轮输出一次损失  
            print(f'Epoch [{epoch + 1}/{num_epochs}], Loss: {loss.numpy():.4f}')  

Epoch [100/100], Loss: 0.0142

# 在测试集上反归一化后计算损失值
model.eval()  # 设置模型为评估模式  
  
for inputs, labels in test_loader():  
    inputs = inputs.astype('float32')
    labels = labels.astype('float32')
    outputs = model(inputs)  
    # 反归一化前的拼接操作  
    combined_outputs = paddle.concat([inputs, outputs], axis=1)  
    combined_labels = paddle.concat([inputs, labels], axis=1)  
      
    # 将Paddle Tensor转换为NumPy数组以进行反归一化  
    combined_outputs_np = combined_outputs.numpy()  
    combined_labels_np = combined_labels.numpy()  
      
    # 反归一化  
    denorm_outputs = preprocessor.denormalize(combined_outputs_np)  
    denorm_labels = preprocessor.denormalize(combined_labels_np)  
      
    # 截取反归一化后的预测值和真实值（假设我们感兴趣的是从第9列开始的数据）  
    denorm_outputs = denorm_outputs[:, 8:]  
    denorm_labels = denorm_labels[:, 8:]  
      
    # 将NumPy数组转回Paddle Tensor  
    outputs_tensor = paddle.to_tensor(denorm_outputs, dtype='float32')  
    labels_tensor = paddle.to_tensor(denorm_labels, dtype='float32')  
      
    # 计算损失  
    loss = criterion(outputs_tensor, labels_tensor)  
      
    # 输出损失  
    print(f'Test Loss: {loss.numpy():.4f}')  
      
    break  # 假设我们只展示第一批测试数据的损失

Test Loss: 0.6538

可见，当进行数据归一化操作后，在测试集上计算损失值时，我们能够得到一个差不多的结果。

多层感知机的简洁实现

接下来，我们将使用深度学习库来实现一个多层感知机（MLP）。

class MLP(nn.Layer):  
    def __init__(self, input_size, output_size):  
        super(MLP, self).__init__()  
        self.fc1 = nn.Linear(in_features=input_size, out_features=64)  # 第一个全连接层  
        self.relu = nn.ReLU()  # 激活函数  
        self.fc2 = nn.Linear(in_features=64, out_features=32)  # 第二个全连接层  
        self.fc3 = nn.Linear(in_features=32, out_features=output_size)  # 输出层  
          
    def forward(self, x):  
        out = self.fc1(x)  
        out = self.relu(out)  
        out = self.fc2(out)  
        out = self.relu(out)  
        out = self.fc3(out)  
        return out

# 进行训练
model = MLP(input_size=8, output_size=1).to(device)  # 实例化模型
  
# 定义损失函数  
criterion = paddle.nn.MSELoss()  
  
# 定义优化器  
optimizer = paddle.optimizer.Adam(parameters=model.parameters(), learning_rate=0.001)  
  
num_epochs = 100  # 定义训练轮数  
  
for epoch in range(num_epochs):  
    for batch_id, (inputs, labels) in enumerate(train_loader()):  
        # 前向传播  
        inputs = inputs.astype('float32')
        labels = labels.astype('float32')
        outputs = model(inputs)  
        labels = paddle.reshape(labels, shape=[-1, 1])  # 调整标签形状以匹配输出  
        loss = criterion(outputs, labels)  # 计算损失  
          
        # 反向传播和优化  
        loss.backward()  # 反向传播  
        optimizer.step()  # 更新权重  
        optimizer.clear_grad()  # 梯度清零，PaddlePaddle中在optimizer.step()之后需要清零梯度  
          
        if (epoch + 1) % 10 == 0:  # 每10轮输出一次损失  
            print(f'Epoch [{epoch + 1}/{num_epochs}], Loss: {loss.numpy():.4f}')  
  
# 进行测试  
# 在测试集上反归一化后计算损失值
model.eval()  # 设置模型为评估模式  
  
for inputs, labels in test_loader():  
    inputs = inputs.astype('float32')
    labels = labels.astype('float32')
    outputs = model(inputs)  
    # 反归一化前的拼接操作  
    combined_outputs = paddle.concat([inputs, outputs], axis=1)  
    combined_labels = paddle.concat([inputs, labels], axis=1)  
      
    # 将Paddle Tensor转换为NumPy数组以进行反归一化  
    combined_outputs_np = combined_outputs.numpy()  
    combined_labels_np = combined_labels.numpy()  
      
    # 反归一化  
    denorm_outputs = preprocessor.denormalize(combined_outputs_np)  
    denorm_labels = preprocessor.denormalize(combined_labels_np)  
      
    # 截取反归一化后的预测值和真实值（假设我们感兴趣的是从第9列开始的数据）  
    denorm_outputs = denorm_outputs[:, 8:]  
    denorm_labels = denorm_labels[:, 8:]  
      
    # 将NumPy数组转回Paddle Tensor  
    outputs_tensor = paddle.to_tensor(denorm_outputs, dtype='float32')  
    labels_tensor = paddle.to_tensor(denorm_labels, dtype='float32')  
      
    # 计算损失  
    loss = criterion(outputs_tensor, labels_tensor)  
      
    # 输出损失  
    print(f'Test Loss: {loss.numpy():.4f}')  
      
    break  # 假设我们只展示第一批测试数据的损失

Epoch [100/100], Loss: 0.0111
Test Loss: 0.3320

可以看到，该模型在测试集上具有较好的精度。

如何查看模型中各个层的参数？

# 输出模型参数
# 假设model是一个已经定义好的PaddlePaddle模型  
for name, layer in model.named_sublayers():  
    for param in layer.parameters():  
        # 在PaddlePaddle中，参数名通常是通过 layer.name + 参数名 来获取的  
        # 例如：线性层的权重可能被命名为 "linear_0.w_0"  
        full_param_name = f"{name}.{param.name}"  
        print(full_param_name, param.shape, param.numpy())

fc1.linear_3.w_0 [8, 64] [[ 3.13081950e-01  2.06018716e-01 -2.03244463e-01  6.62552845e-03
   1.20794969e-02 -1.63710177e-01 -7.88584426e-02 -1.71072856e-01
  -2.38272175e-01 -1.40343830e-01 -3.40595514e-01 -1.27847895e-01
  -8.12689662e-02 -1.93796322e-01 -1.73967615e-01 -6.09782934e-02
  -2.30334118e-01  5.17311767e-02  1.49296045e-01  1.77590698e-01
   2.87044793e-01  3.24724615e-01 -9.37301572e-03  2.07839161e-02
   2.03638270e-01 -2.86146969e-01  1.73401520e-01  2.73310632e-01
  -1.29703968e-03 -2.08033428e-01 -2.79000718e-02  2.02144414e-01
   8.92829448e-02  2.35799953e-01 -1.24874398e-01 -2.52885759e-01
  -1.20067850e-01  1.37583837e-01  3.11312914e-01  2.81481184e-02
  -5.56637207e-03  3.96346040e-02 -9.06345099e-02  3.16798061e-01
   1.95969284e-01  1.22597426e-01 -2.12079436e-01 -1.10605480e-02
   2.52932459e-01  2.94231102e-02 -7.79357785e-03 -1.04727827e-01
   1.52468294e-01 -3.32752287e-01 -3.68948251e-01 -4.53656614e-02
   9.80597511e-02 -2.06019282e-01  6.06062263e-02  3.22720438e-01
  -1.39198959e-01  1.09098367e-01  1.65877655e-01  3.83714810e-02]
 [ 1.97691053e-01  2.68247962e-01  1.02182925e-01 -2.21673980e-01
   6.71685040e-02  2.14003429e-01  7.95149729e-02 -1.43927904e-02
   1.95485000e-02 -2.51339942e-01  7.93670043e-02  1.12638079e-01
  -5.38468882e-02 -3.06898467e-02  1.51379794e-01  6.22531846e-02
   2.14708835e-01  9.80924591e-02  1.66708350e-01 -3.12378965e-02
  -2.03294098e-01  1.10657394e-01 -2.52982259e-01  3.22187413e-03
  -8.82982910e-02 -1.55200779e-01 -2.23677039e-01 -1.12245090e-01
  -6.63331011e-04 -9.65051353e-02  7.15597644e-02  3.07830255e-02
   5.82662830e-03 -2.87823766e-01  2.92417437e-01  3.21345702e-02
   1.66399077e-01  4.70230281e-02 -7.07463454e-03 -6.04915805e-02
   9.32222903e-02 -5.92378080e-02 -1.09557621e-01  3.09029445e-02
  -2.38836870e-01  1.38097152e-01  3.25661036e-03 -3.17538623e-03
   1.48152769e-01  1.04433727e-02 -1.72422007e-02  2.42527097e-01
   9.16873887e-02 -6.48293570e-02 -1.68860570e-01 -6.40835911e-02
   6.08525500e-02 -1.49053276e-01 -2.48240486e-01  5.74986730e-03
   3.12685445e-02 -6.31402507e-02 -2.81727612e-01  6.12065531e-02]
 [-4.09857005e-01  3.11477602e-01  2.69458681e-01  4.48913306e-01
   1.18098319e-01  2.47394755e-01 -1.15581743e-01 -2.04905525e-01
   8.42827260e-01 -1.63813263e-01  1.00870140e-01 -1.04029886e-01
  -2.64002960e-02 -5.50883487e-02 -1.95006967e-01 -2.73619950e-01
  -3.00938524e-02  1.68695450e-01  5.22577986e-02  2.13823944e-01
   4.51764077e-01  3.49374563e-01 -5.65181017e-01 -3.87557358e-01
   1.29004359e-01 -1.20676987e-01  5.81966043e-01  3.37479147e-03
   2.79788673e-02 -2.01127931e-01  2.44547185e-02 -1.75951913e-01
  -1.52701110e-01  2.95786243e-02  5.36481179e-02  2.97037140e-02
   4.32989985e-01 -2.68881559e-01  4.25330549e-02  1.45621091e-01
   5.48326433e-01 -3.74135941e-01  2.69327462e-01  1.13747448e-01
   3.42393726e-01 -7.92791024e-02  2.18861148e-01  1.63596347e-01
   1.47850409e-01 -4.30780828e-01 -4.81581949e-02 -2.52826780e-01
   4.90360469e-01 -2.41113584e-02  7.71145597e-02 -1.40949534e-02
  -3.01896352e-02 -1.34475499e-01 -1.92220926e-01 -2.49957636e-01
  -2.03098997e-01 -1.53841227e-01  1.32989585e-01  4.62006480e-02]
 [ 2.65925497e-01  4.05812204e-01  2.53788888e-01  4.99203712e-01
  -2.75020540e-01  3.65542322e-02 -3.27302329e-02 -2.58379102e-01
   7.17044175e-01 -2.85323590e-01 -4.86054897e-01 -1.47260606e-01
  -9.64693353e-02 -4.43619825e-02 -6.87486455e-02  3.30955803e-01
   1.83765545e-01 -1.89430609e-01  2.36887589e-01  3.58756721e-01
   5.59944008e-03 -3.37457284e-02  2.50176519e-01 -4.56583709e-01
   3.08023691e-01 -7.37715885e-02 -1.83679652e-03  9.28729996e-02
  -7.18701780e-01  2.79626548e-01 -2.19838172e-01 -6.79115504e-02
   2.52646714e-01  2.41785645e-02 -6.17026567e-01  1.08945765e-01
  -1.62117127e-02  2.05493614e-01 -2.45605379e-01  2.65016913e-01
  -2.44144589e-01  4.52748537e-01 -2.06575722e-01  4.17236686e-01
  -1.04198933e-01 -2.66322345e-01 -5.73289171e-02  8.69868994e-02
  -3.20162088e-01  6.04037166e-01 -1.37159184e-01  2.63334125e-01
  -9.83569175e-02 -3.48932803e-01 -8.56782496e-02  2.06245899e-01
   6.13508761e-01  2.07591414e-01  1.90393880e-01 -5.00104487e-01
  -1.53477311e-01  1.80223972e-01 -1.44515052e-01 -3.93530965e-01]
 [-2.08107382e-02 -1.04099689e-02  1.54960945e-01 -1.76455304e-01
  -2.76900291e-01  2.41604139e-04 -6.17245845e-02 -1.93189204e-01
  -1.34109721e-01 -9.80562791e-02 -5.07896505e-02  8.53389949e-02
   3.32316190e-01  1.53314933e-01  2.63355583e-01  8.86959657e-02
   1.02258776e-03  2.05812305e-02  3.04718852e-01  1.02881730e-01
  -1.97050065e-01 -3.14103186e-01 -2.95645714e-01 -4.10347618e-02
   2.84989476e-01  1.41007662e-01 -5.29043414e-02  3.68966639e-01
   4.19721343e-02 -2.27591306e-01 -7.85444304e-02 -3.95845734e-02
  -2.98132330e-01  5.92459619e-01 -1.16872571e-01  6.15054853e-02
  -3.56268175e-02 -2.33406723e-02 -8.01426917e-02 -6.06930912e-01
  -1.41250402e-01 -3.51036370e-01 -2.24154398e-01  1.02946751e-01
  -1.62987053e+00  3.95317942e-01  1.55391753e-01 -1.58332791e-02
   1.95650697e-01  7.13705143e-04  3.25329900e-01  1.07448131e-01
   3.67635749e-02 -1.15112327e-01  8.02160278e-02  7.15531111e-02
   5.10841250e-01 -1.32755637e-02  5.78131527e-02  2.79938608e-01
   1.96959719e-01 -1.49558550e-02  3.00721645e-01  1.92038730e-01]
 [-1.41917720e-01 -8.23766112e-01  3.62229139e-01 -4.03780222e-01
  -2.69680589e-01  5.43978333e-01  1.13129258e-01 -2.34977201e-01
   3.57693760e-03 -2.98992321e-02  3.95094931e-01  1.11738533e-01
   7.97432438e-02 -3.33442068e+00  2.30269492e-01 -7.64713943e-01
  -3.62472677e+00  7.77017295e-01 -2.42613745e+00 -1.50677538e+00
  -1.81879580e+00  9.88062397e-02  6.39276326e-01  4.79470283e-01
  -4.57693189e-01  1.07487750e+00 -1.29751253e+00 -8.10215354e-01
   1.42558360e+00 -4.01732302e+00  4.02323753e-01  3.82710427e-01
  -3.57001638e+00  1.59708217e-01  1.28399014e+00  4.95734781e-01
  -5.63715808e-02 -3.56859064e+00  9.86382723e-01 -9.85695496e-02
  -7.60960162e-01 -9.98046935e-01  2.64710575e-01  1.63424224e-01
  -5.36435902e-01  6.28703833e-01 -1.64718166e-01  2.44663283e-01
   1.47745657e+00 -4.11281919e+00 -7.97118247e-02 -1.20846283e+00
   5.36247194e-01  1.03536451e+00  6.48276210e-01  3.26947302e-01
  -6.36863649e-01  2.36443996e-01 -1.75268464e-02  9.11053002e-01
   1.20773637e+00 -2.47064066e+00  1.39027083e+00  3.95809710e-01]
 [-1.61872298e-01 -4.73983921e-02  6.85898662e-02  1.39827654e-01
  -2.81924009e-01  1.64999783e-01  5.07304221e-02 -7.57065322e-03
   1.31751299e-02 -9.22666211e-03 -2.24459730e-03 -1.60971448e-01
   3.60914260e-01 -5.30816376e-01 -7.19735026e-01 -2.70165414e-01
  -6.34882301e-02  2.39850268e-01 -2.85788506e-01 -1.95005029e-01
  -3.71909924e-02  1.26119405e-01  2.35527605e-01 -4.28029150e-01
  -1.86404482e-01  3.03764254e-01  1.68191209e-01  1.67935163e-01
  -4.90795523e-01  1.00804202e-01  2.96638042e-01  1.71004266e-01
  -7.12542892e-01 -1.22327924e-01 -6.40762523e-02  1.65183812e-01
  -9.62912291e-03 -5.62684417e-01  1.75650641e-01 -4.40592200e-01
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