【C++进阶】二叉搜索树

🕗 发布于 2024-10-05 17:45 c++ 开发语言 学习 数据结构 算法

1. 二叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其高度为： $O\left ( \log_{2}N\right )$

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： $O\left ( N/2\right )$

所以综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： $O\left ( N\right )$

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 $O\left ( \log_{2}N\right )$ 级别的查找效率，但是⼆分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。

2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数

据。

这里也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

3. 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点大往右⾛，插⼊值⽐当前结点小往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。

3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

4. 二叉搜索树的查找

1. 从根开始比较，查找x，x比根的值⼤则往右边⾛查找，x比根值小则往左边⾛查找。

2. 最多查找⾼度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

5. ⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩子均为空

2. 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空

3. 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空

4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案：

1. 把N结点的⽗亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

2. 把N结点的⽗亲对应孩子指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

3. 把N结点的⽗亲对应孩子指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

6. 二叉搜索树的实现代码

template<class K>
struct BSTNode
{
    K _key;
    BSTNode<K>* _left;
    BSTNode<K>* _right;
    BSTNode(const K& key)
    :_key(key)
    , _left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    {}
};

// Binary Search Tree
template<class K>
class BSTree
{
    typedef BSTNode<K> Node;
public:
    bool Insert(const K& key)
    {
        if (_root == nullptr)
        {
            _root = new Node(key);
            return true;
        }
        
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_key > key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }
    cur = new Node(key);
    if (parent->_key < key)
    {
        parent->_right = cur;
    }
    else
    {
        parent->_left = cur;
    }
    return true;
}

bool Find(const K& key)
{
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < key)
        {
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_key > key)
        {
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

bool Erase(const K& key)
{
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_key > key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            // 0-1个孩⼦的情况
            // 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针
            指向即可
            if (cur->_left == nullptr)
            {
                if (parent == nullptr)
                {
                    _root = cur->_right;
                }
                else
                {
                    if (parent->_left == cur)
                        parent->_left = cur->_right;
                    else
                        parent->_right = cur->_right;
                }
                delete cur;
                return true;
            }
            else if (cur->_right == nullptr)
            {
                if (parent == nullptr)
                {
                    _root = cur->_left;
                }
                else
                {
                    if (parent->_left == cur)
                        parent->_left = cur->_left;
                    else
                        parent->_right = cur->_left;
                }

                delete cur;
                return true;
            }
            else
            {
                // 2个孩⼦的情况
                // 删除情况4，替换法删除
                // 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除
                // 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况
                // ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。
                Node* rightMinP = cur;
                Node* rightMin = cur->_right;
                while (rightMin->_left)
                {
                    rightMinP = rightMin;
                    rightMin = rightMin->_left;
                }
                cur->_key = rightMin->_key;
                if (rightMinP->_left == rightMin)
                    rightMinP->_left = rightMin->_right;
                else
                    rightMinP->_right = rightMin->_right;
                delete rightMin;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

    void InOrder()
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }

private:
    void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
        {
            return;
        }
        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_key << " ";
        _InOrder(root->_right);
    }
private:
    Node* _root = nullptr;
};

7. 二叉搜索树key和key/value使用场景

7.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：小区无人值守车库，小区车库买了⻋位的业主⻋才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区⻋辆，无法进⼊。

场景2：检查⼀篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

7.3 key/value⼆叉搜索树代码实现

template<class K, class V>
struct BSTNode
{
    // pair<K, V> _kv;
    K _key;
    V _value;
    BSTNode<K, V>* _left;
    BSTNode<K, V>* _right;
    BSTNode(const K& key, const V& value)
    :_key(key)
    , _value(value)
    , _left(nullptr)
    , _right(nullptr)
    {}
};

template<class K, class V>
class BSTree
{
    typedef BSTNode<K, V> Node;
    public:
    BSTree() = default;
    BSTree(const BSTree<K, V>& t)
    {
        _root = Copy(t._root);
    }
    BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t)
    {
        swap(_root, t._root);
        return *this;
    }
    ~BSTree()
    {
        Destroy(_root);
        _root = nullptr;
    }
    bool Insert(const K& key, const V& value)
    {
        if (_root == nullptr)
        {
            _root = new Node(key, value);
            return true;
        }
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return false;
            }
        }
        cur = new Node(key, value);
        if (parent->_key < key)
        {
            parent->_right = cur;
        }
        else
        {
            parent->_left = cur;
        }
        return true;
    }

    Node* Find(const K& key)
    {
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return cur;
            }
        }
        return nullptr;
    }

    bool Erase(const K& key)
    {
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                if (cur->_left == nullptr)
                {
                    if (parent == nullptr)
                    {
                        _root = cur->_right;
                    }
                else
                {
                    if (parent->_left == cur)
                        parent->_left = cur->_right;
                    else
                        parent->_right = cur->_right;
                }
                delete cur;
                return true;
            }
            else if (cur->_right == nullptr)
            {
                if (parent == nullptr)
                {
                    _root = cur->_left;
                }
                else
                {
                    if (parent->_left == cur)
                        parent->_left = cur->_left;
                    else
                        parent->_right = cur->_left;
                }
                delete cur;
                return true;
            }
            else
            {
                Node* rightMinP = cur;
                Node* rightMin = cur->_right;
                while (rightMin->_left)
                {
                    rightMinP = rightMin;
                    rightMin = rightMin->_left;
                }
                cur->_key = rightMin->_key;
                if (rightMinP->_left == rightMin)
                    rightMinP->_left = rightMin->_right;
                else
                    rightMinP->_right = rightMin->_right;
                delete rightMin;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

    void InOrder()
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }
private:
    void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
        {
            return;
        }
        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
        _InOrder(root->_right);
    }
    void Destroy(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
            return;
        Destroy(root->_left);
        Destroy(root->_right);
        delete root;
    }
    Node* Copy(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
            return nullptr;
        Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
        newRoot->_left = Copy(root->_left);
        newRoot->_right = Copy(root->_right);
        return newRoot;
    }
private:
    Node* _root = nullptr;
};

int main()
{
    BSTree<string, string> dict;
    //BSTree<string, string> copy = dict;
    dict.Insert("left", "左边");
    dict.Insert("right", "右边");
    dict.Insert("insert", "插⼊");
    dict.Insert("string", "字符串");
    string str;
    while (cin>>str)
    {
        auto ret = dict.Find(str);
        if (ret)
        {
             cout << "->" << ret->_value << endl;
        }
        else
        {
            cout << "⽆此单词，请重新输⼊" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    string arr[] = { "苹果", "西⽠", "苹果", "西⽠", "苹果", "苹果", "西⽠","苹果", "⾹蕉", "苹果", "⾹蕉" };
    BSTree<string, int> countTree;
    for (const auto& str : arr)
    {
        // 先查找⽔果在不在搜索树中
        // 1、不在，说明⽔果第⼀次出现，则插⼊<⽔果, 1>
        // 2、在，则查找到的结点中⽔果对应的次数++
        //BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
        auto ret = countTree.Find(str);
        if (ret == NULL)
        {
            countTree.Insert(str, 1);
        }
        else
        {
            ret->_value++;
        }
    }
    countTree.InOrder();
    return 0;
}

这篇文章介绍了二叉搜索树的相关知识！

原文地址：https://blog.csdn.net/2402_82689232/article/details/142711809

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基于物理信息神经网络（PINN）求解Burgers方程(附PyTorch源代码)
本文介绍了如何通过物理信息神经网络（PINN）求解经典的 Burgers 方程，详细讲解了网络结构、损失函数设计、训练过程以及可视化解的步骤。PINN 是一种强大的工具，能够将物理方程与神经网络相结合
阅读更多2024-10-06
vite学习教程02、vite+vue2配置环境变量
本文详细介绍了在Vite项目中如何安装和配置环境变量，以及如何在项目中应用这些变量。首先，通过npm安装`cross-env`依赖。然后，在项目根目录创建`.env`文件，并为不同环境（默认、开发、生
阅读更多2024-10-06
分页查询前后端代码
默认值，第一次查询没有页码和页面大小所以给个默认值，因为我有帐号和姓名的模糊查询所以，后端会根据这四个值来返回前端所需要的数据。每次改变页码或者页号，发送一次请求。在table表格下，写样式。
阅读更多2024-10-06
BLOOM 模型的核心原理、局限与未来发展方向解析
BLOOM（BigScience Large Open-science Open-access Multilingual Language Model）是一款由多个国际研究团队联合开发的大型语言模型。
阅读更多2024-10-06
各省份人力资本数据（2005-2022年）
人力资本是指凝聚在劳动者身上的知识、技能和健康等要素所构成的一种资本类型。这种资本是通过投资形成的，包括教育、培训、实践经验、保健等方面的投入，以及在劳动力国内流动和移民入境等方面的投资。人力资本=普
阅读更多2024-10-06
一个月学会Java 第1天第一个Java程序
一个月学会java的第一天第一个Java程序
阅读更多2024-10-06
Python案例--斐波那契数列
斐波那契数列是一个每一项都是前两项和的数列，定义如下：这个数列的前几项是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...斐波那契数列是一个简单而强大的数学工具，它揭示了数学与自然界的和谐关
阅读更多2024-10-06
内部碎片、外部碎片、页内碎片以及紧凑技术
外部碎片是指在内存中存在足够大小的空闲空间来满足一个内存请求，但是这些空闲空间被分割成许多小的、不连续的块，而这些块的总大小足以满足请求，但没有一个单独的块足够大。就像拼图游戏一样，你有足够的碎片，但
阅读更多2024-10-06
需求设计书，需求分析报告，需求说明书（word原件）
5.6 其他信息安全措施。5.5 对用户安全管理。第6章其他非功能需求。3.1 软件开发要求。第4章项目建设内容。第5章系统安全需求。5.1 物理设计安全。5.2 系统安全设计。5.3 网络安全
阅读更多2024-10-06
ABAP:去掉前导零
关于去除/添加SAP的前导零
阅读更多2024-10-06