JDL降维STAP中的降维矩阵T推导
降维空时自适应处理中JDL方法降维矩阵T的来源
降维STAP算法的思路是:将
空-时
\color{red} \textbf{空-时}
空-时域回波信号通过DFT处理变换至
角度-多普勒
\color{red} \textbf{角度-多普勒}
角度-多普勒域,此时回波信号转换为频域信号,并且被划分为二维的角度通道和多普勒通道。然后通常论文会给出向量化的接收回波信号
x
\mathbf{x}
x,左乘降维矩阵
T
\mathbf{T}
T后得到降维后的接收回波信号;以及期望的空时导向矢量通过降维矩阵
T
\mathbf{T}
T后得到降维后的期望导向矢量:
x
T
=
T
H
x
s
T
=
T
H
s
\mathbf{x}_T=\mathbf{T}^H\mathbf{x} \\ \mathbf{s}_T=\mathbf{T}^H\mathbf{s}
xT=THxsT=THs
通过以上描述,我一直认为降维矩阵
T
\mathbf{T}
T是
N
K
×
3
NK \times 3
NK×3维的选择矩阵,其中
N
N
N是接收阵元数,
K
K
K是脉冲数。所谓选择矩阵是除了选出来的
3
×
3
3 \times 3
3×3个通道对应的位置是1,其余是0。但是,论文中后续给出的降维矩阵
T
\mathbf{T}
T却不长这样。而通常是如下的形式:
s
=
a
θ
(
f
θ
0
)
⊗
a
d
(
f
d
0
)
s
T
=
(
T
θ
H
a
θ
(
f
θ
0
)
)
⊗
(
T
d
H
a
d
(
f
d
0
)
)
\mathbf{s}=\mathbf{a}_{\theta}(f_{\theta_0}) \otimes \mathbf{a}_{d} (f_{d_0}) \\ \mathbf{s}_T= (\mathbf{T}_{\theta}^H \mathbf{a}_{\theta}(f_{\theta_0})) \otimes (\mathbf{T}_{d}^H \mathbf{a}_{d} (f_{d_0}))
s=aθ(fθ0)⊗ad(fd0)sT=(TθHaθ(fθ0))⊗(TdHad(fd0))
其中,JDL算法的
T
θ
\mathbf{T}_{\theta}
Tθ和
T
d
\mathbf{T}_{d}
Td通常是
T
θ
=
[
a
θ
(
f
θ
0
−
1
/
N
)
,
a
θ
(
f
θ
0
)
,
a
θ
(
f
θ
0
+
1
/
N
)
]
T
d
=
[
a
d
(
f
d
0
−
1
/
K
)
,
a
d
(
f
d
0
)
,
a
d
(
f
d
0
+
1
/
K
)
]
\mathbf{T}_{\theta} = [\mathbf{a}_{\theta}(f_{\theta_0}-1/N), \mathbf{a}_{\theta}(f_{\theta_0}), \mathbf{a}_{\theta}(f_{\theta_0}+1/N)] \\ \mathbf{T}_{d}=[\mathbf{a}_{d} (f_{d_0}-1/K), \mathbf{a}_{d} (f_{d_0}), \mathbf{a}_{d} (f_{d_0}+1/K)]
Tθ=[aθ(fθ0−1/N),aθ(fθ0),aθ(fθ0+1/N)]Td=[ad(fd0−1/K),ad(fd0),ad(fd0+1/K)]
这就有点让人费解了。但是,我认为的选择矩阵实实在在犯了一个错误,就是还是在原空-时域进行的处理,没有变换到角度-多普勒域。
于是,又去看了参考文献[1]的5.1.1节,其中从空-时域到角度-多普勒域的变换是这样做的:
对第
n
n
n个阵元,共有
M
M
M点时域采样,第
k
k
k个时域滤波(第
k
k
k点DFT)输出为
y
n
,
k
=
∑
m
=
0
M
−
1
x
n
,
m
e
−
j
2
π
k
m
/
M
=
∑
m
=
0
M
−
1
x
n
,
m
e
−
j
m
ω
d
k
,
ω
d
k
=
2
π
k
/
M
{y_{n,k}} = \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{x_{n,m}}{e^{ - j2\pi km/M}}} = \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{x_{n,m}}{e^{ - jm{\omega _{dk}}}}} ,{\omega _{dk}} = 2\pi k/M
yn,k=m=0∑M−1xn,me−j2πkm/M=m=0∑M−1xn,me−jmωdk,ωdk=2πk/M
其中,
ω
d
k
{\omega _{dk}}
ωdk表示时域第
k
k
k个频点。对每个阵元的第
k
k
k个时域滤波,共有
N
N
N点空域采样,第
l
l
l个空域滤波(第
l
l
l点DFT)输出为
y
l
,
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
y
n
,
k
e
−
j
2
π
n
l
/
N
=
∑
n
=
0
N
−
1
y
n
,
k
e
−
j
n
ω
s
l
,
ω
s
l
=
2
π
l
/
N
{y_{l,k}} = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{y_{n,k}}{e^{ - j2\pi nl/N}}} = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{y_{n,k}}{e^{ - jn{\omega _{sl}}}}} ,{\omega _{sl}} = 2\pi l/N
yl,k=n=0∑N−1yn,ke−j2πnl/N=n=0∑N−1yn,ke−jnωsl,ωsl=2πl/N
其中,
ω
s
l
{\omega _{sl}}
ωsl表示空域第
l
l
l个频点,
y
l
,
k
{y_{l,k}}
yl,k为角度-多普勒域中的值,称之为一个
通道
\color{red} \textbf{通道}
通道,对应于空域频率
ω
s
l
{\omega _{sl}}
ωsl和时域频率
ω
d
k
{\omega _{dk}}
ωdk。
从这里关于通道的定义就可以看出,实际上是在空-时域基础上做了DFT变换来的,所以如果是原来
N
K
×
1
NK \times 1
NK×1的空时向量,变换到变换域需要
N
K
×
N
K
NK \times NK
NK×NK的类似于DFT的矩阵,因为降维了,所以才是
N
K
×
3
NK \times 3
NK×3这样。至于具体每一列的取值
a
θ
(
f
θ
0
−
1
/
N
)
\mathbf{a}_{\theta}(f_{\theta_0}-1/N)
aθ(fθ0−1/N),
a
θ
(
f
θ
0
)
\mathbf{a}_{\theta}(f_{\theta_0})
aθ(fθ0)或
a
θ
(
f
θ
0
+
1
/
N
)
\mathbf{a}_{\theta}(f_{\theta_0}+1/N)
aθ(fθ0+1/N),它应该是真正变换到变换域矩阵中的内容,而不是想象中的DFT矩阵的列。
综上,降维矩阵真实的取值应该是上述
T
θ
\mathbf{T}_{\theta}
Tθ和
T
d
\mathbf{T}_{d}
Td的样子,而不是选择矩阵。
参考文献:
[1]张伟. 机载MIMO雷达空时信号处理研究[D]. 电子科技大学, 2013.
原文地址:https://blog.csdn.net/qq_42146648/article/details/142711522
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