线性子空间（Linear Subspaces）
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1. 定义
向量空间 V V V的非空子集 W W W 被称为 V V V 的一个线性子空间，如果它满足以下两个条件：
- 对向量加法封闭： 对于任意 u , v ∈ W u, v \in W u,v∈W，有 u + v ∈ W u + v \in W u+v∈W。
- 对数乘封闭： 对于任意 u ∈ W u \in W u∈W 和标量 c ∈ R c \in \mathbb{R} c∈R（或 C \mathbb{C} C），有 c ⋅ u ∈ W c \cdot u \in W c⋅u∈W。
**换句话说，**线性子空间对向量加法和数乘运算是封闭的，因此它本身也是一个向量空间。
2. 线性子空间的性质
- 包含零向量： 由于对数乘封闭，当 c = 0 c = 0 c=0 时， 0 ⋅ u = 0 ∈ W 0 \cdot u = 0 \in W 0⋅u=0∈W，因此线性子空间必须包含零向量（原点）。
- 任意线性组合封闭： 对于 W W W中的任意有限个向量 u 1 , u 2 , … , u n u_1, u_2, \dots, u_n u1,u2,…,un 和标量 c 1 , c 2 , … , c n c_1, c_2, \dots, c_n c1,c2,…,cn，线性组合 c 1 u 1 + c 2 u 2 + ⋯ + c n u n ∈ W c_1 u_1 + c_2 u_2 + \dots + c_n u_n \in W c1u1+c2u2+⋯+cnun∈W。
- 子空间的加法： 两个线性子空间的和也是一个线性子空间。
- 子空间的交集： 任意多个线性子空间的交集仍然是线性子空间。
3. 实例
（1）零子空间
- 定义： 仅包含零向量的集合 { 0 } \{0\} {0}。
- 性质： 是所有子空间中维数最小的，称为零子空间。
（2）整个向量空间
- 定义： 向量空间 V V V 本身。
- 性质： 是维数最大的子空间。
（3）通过原点的直线
- 二维空间中的例子： 所有满足 y = m x y = mx y=mx 的点组成的集合，其中 m m m 是常数。
- 性质： 是 R 2 \mathbb{R}^2 R2 中的一维子空间。
（4）通过原点的平面
- 三维空间中的例子： 所有满足 a x + b y + c z = 0 ax + by + cz = 0 ax+by+cz=0 的点组成的集合，其中 a , b , c a, b, c a,b,c 不全为零。
- 性质： 是 R 3 \mathbb{R}^3 R3 中的二维子空间。
（5）矩阵空间中的子空间
- 对称矩阵集合： 所有 n × n n \times n n×n 对称矩阵构成 R n × n \mathbb{R}^{n \times n} Rn×n 的一个子空间。
- 可逆矩阵集合： 注意： 可逆矩阵集合不是子空间，因为不包含零矩阵。
4. 线性子空间的判定方法
要验证一个非空子集 W W W 是否为线性子空间，可以按照以下步骤：
- 验证零向量是否在 W W W 中： 检查 0 ∈ W 0 \in W 0∈W。
- 验证对加法的封闭性： 对任意 u , v ∈ W u, v \in W u,v∈W，检查 u + v ∈ W u + v \in W u+v∈W。
- 验证对数乘的封闭性： 对任意 u ∈ W u \in W u∈W 和 c ∈ R c \in \mathbb{R} c∈R（或 C \mathbb{C} C），检查 c ⋅ u ∈ W c \cdot u \in W c⋅u∈W。
5. 生成子空间和维数
（1）生成子空间
给定向量集合 S = { v 1 , v 2 , … , v k } S = \{v_1, v_2, \dots, v_k\} S={v1,v2,…,vk}，所有这些向量的线性组合构成的集合称为 S S S 的生成子空间，记为 span ( S ) \text{span}(S) span(S)。
（2）维数和基
- 基： 线性无关且生成子空间的向量集合。
- 维数： 基中向量的个数，即子空间的维度。
例子：
- 二维空间 R 2 \mathbb{R}^2 R2： 任意两个线性无关的向量构成的集合，其生成子空间就是整个 R 2 \mathbb{R}^2 R2，维数为 2。
- 三维空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3 中的平面： 由两个线性无关的向量生成，维数为 2。
6. 线性子空间与仿射集合的区别
（1）线性子空间
- 必须包含原点： 线性子空间总是通过原点。
- 对任意线性组合封闭： 系数之和没有限制。
（2）仿射集合
- 不一定包含原点： 仿射集合可以不经过原点。
- 对仿射组合封闭： 线性组合的系数之和必须为 1。
（3）关系
- 仿射集合是线性子空间的平移： 给定线性子空间 W W W 和向量 v v v，集合 v + W = { v + w ∣ w ∈ W } v + W = \{ v + w | w \in W \} v+W={v+w∣w∈W}是一个仿射集合。
示例：
- 直线： 通过原点的直线是线性子空间，不通过原点的直线是仿射集合。
7. 应用
（1）线性方程组的解集
- 齐次线性方程组 A x = 0 A x = 0 Ax=0： 解集构成一个线性子空间。
- 非齐次线性方程组 A x = b A x = b Ax=b： 如果有解，解集是一个仿射集合，可表示为特解加上齐次解的子空间。
8. 图形直观理解
（1）二维空间中的线性子空间
- 零维子空间： 只有原点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)。
- 一维子空间： 通过原点的直线。
- 二维子空间： 整个平面 R 2 \mathbb{R}^2 R2。
（2）三维空间中的线性子空间
- 零维子空间： 只有原点 ( 0 , 0 , 0 ) (0, 0, 0) (0,0,0)。
- 一维子空间： 通过原点的直线。
- 二维子空间： 通过原点的平面。
- 三维子空间： 整个空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3。
9. 重要性质
（1）子空间的和与交
- 和： 两个子空间 U U U 和 W W W 的和 U + W = { u + w ∣ u ∈ U , w ∈ W } U + W = \{ u + w | u \in U, w \in W \} U+W={u+w∣u∈U,w∈W} 也是子空间。
- 交： U ∩ W U \cap W U∩W 仍然是子空间。
（2）直和
- 定义： 如果 U ∩ W = { 0 } U \cap W = \{0\} U∩W={0}，则 V = U ⊕ W V = U \oplus W V=U⊕W 表示 V V V是 U U U 和 W W W 的直和。
- 性质： 任意向量 v ∈ V v \in V v∈V 都可以唯一地表示为 v = u + w v = u + w v=u+w，其中 u ∈ U u \in U u∈U， w ∈ W w \in W w∈W。
（3）正交补空间
- 定义： 给定子空间 W W W，其正交补空间 W ⊥ = { v ∈ V ∣ ⟨ v , w ⟩ = 0 , ∀ w ∈ W } W^\perp = \{ v \in V | \langle v, w \rangle = 0, \forall w \in W \} W⊥={v∈V∣⟨v,w⟩=0,∀w∈W}。
- 性质： W ⊥ W^\perp W⊥也是一个线性子空间。
10. 核心概念总结
- 线性子空间是向量空间中的“平坦”结构，必须通过原点，且对线性组合封闭。
- 仿射集合是线性子空间的平移，不一定包含原点，对仿射组合封闭。
附录：
A1.集合、空间、平移
A1.1 什么是集合？
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定义： 集合是一些对象的整体，这些对象称为集合的元素。
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直观理解： 可以把集合看作一个篮子，篮子里装着一些苹果、橘子等水果。水果就是集合的元素，篮子就是集合。
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数字集合： 如自然数集合 { 1 , 2 , 3 , … } \{1, 2, 3, \dots\} {1,2,3,…}。
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点的集合： 平面上的所有点组成的集合。
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日常例子： 一个班级的学生，可以视为学生的集合。
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图形表示： 在坐标平面上，集合可以表示为一系列点、线、面等。
A2. 空间
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定义： 在数学中，空间是具有某些结构的集合，这些结构使得集合中的元素可以进行某些运算，如加法和数乘。
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常见空间：
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一维空间： 数轴，即所有实数构成的集合。
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二维空间： 平面，由 ( x , y ) (x, y) (x,y) 形式的点构成。
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三维空间： 我们日常生活中的空间，由 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z) 形式的点构成。
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直观理解：
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一维空间： 一条直线，如马路，可以向左或向右延伸。
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二维空间： 一张平坦的纸，可以向前后、左右延伸。
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三维空间： 一个房间，可以向上下、前后、左右延伸。
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向量空间：
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定义： 向量空间是一个集合，其中的元素可以进行向量加法和数乘运算，并满足一定的公理。
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直观理解： 可以把向量看作有大小和方向的箭头，例如，风的速度有大小（风速）和方向。
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A3 平移
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定义： 平移是指在空间中，将所有点按照同一个方向和距离移动。
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数学表达： 给定一个向量 v v v，将空间中的每个点 x x x 移动到 x + v x + v x+v。
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直观理解：
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搬家： 把家里的所有家具（点）搬到新房子（新的位置），相当于平移了家具的位置。
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电梯上升： 电梯内的所有人（点）一起上升了5层楼（向上的平移）。
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二维平移： 在平面上，将图形整体向某个方向移动，不改变形状和大小。
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三维平移： 在空间中，物体整体移动，如飞机在空中飞行。
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平移的作用
改变位置，不改变形状
- 平移特性： 平移不会改变对象的形状、大小和方向，只是改变位置。
实际例子
- 移动家具： 将沙发从客厅搬到卧室，沙发本身没有变化。
- 走路： 人在地面上移动，位置改变，但人本身没有变化。
数学中的平移
- 函数平移： 将函数 f ( x ) f(x) f(x) 平移，得到 f ( x − h ) f(x - h) f(x−h)。
- 几何中的平移： 将图形的每个点按照相同的向量移动。
A4 仿射集合中的平移
- 仿射集合定义回顾： 仿射集合是一个在仿射组合下封闭的点集。
- 平移的作用： 仿射集合可以看作是线性子空间的平移。
例子1：直线的平移
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线性子空间： 过原点的直线 L 0 L_0 L0。
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平移后的仿射集合： 将 L 0 L_0 L0 沿着某个向量 v v v 平移，得到新的直线 L = L 0 + v L = L_0 + v L=L0+v，这条直线不再经过原点。
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想象一根穿过原点的直尺，将它整体向上移动，得到一根新的直尺，虽然位置变了，但形状和方向不变。
例子2：平面的平移
- 线性子空间： 经过原点的平面 P 0 P_0 P0。
- 平移后的仿射集合： 将 P 0 P_0 P0 沿着向量 v v v 平移，得到新的平面 P = P 0 + v P = P_0 + v P=P0+v，位置改变，但仍然是平面。
A5 线性子空间 vs. 仿射集合：
- 线性子空间： 好比固定在原点的橡皮筋，只能围绕原点拉伸或收缩。
- 仿射集合： 好比可以在空间中任意移动的橡皮筋，既可以拉伸，也可以移动位置。
原文地址：https://blog.csdn.net/xy_optics/article/details/142896497
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