数学基础 -- 泰勒展开式
泰勒展开
泰勒展开是将一个函数在某点附近展开成幂级数的工具。具体来说，对于一个在某点 a a a处具有 n n n阶导数的函数 f ( x ) f(x) f(x)，其泰勒展开式为：
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ′ ′ ′ ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+3!f′′′(a)(x−a)3+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n+Rn(x)
其中， R n ( x ) R_n(x) Rn(x)是剩余项，用来表示级数截断后与实际函数之间的误差。对于某些函数，当 n n n趋近于无穷大时，剩余项趋近于零，泰勒级数就可以完全表示函数。
例子 1： e x e^x ex在 x = 0 x = 0 x=0处的泰勒展开
对于指数函数 e x e^x ex，所有阶导数都是 e x e^x ex，在 x = 0 x = 0 x=0处，所有导数值都是 1。所以泰勒展开式为：
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯
这实际上是 e x e^x ex的麦克劳林级数（泰勒级数的特殊情况，展开点 a = 0 a = 0 a=0）。
例子 2： sin ( x ) \sin(x) sin(x) 在 x = 0 x = 0 x=0 处的泰勒展开
对于正弦函数 sin ( x ) \sin(x) sin(x)，其奇数阶导数在 x = 0 x = 0 x=0处是 ± 1 \pm 1 ±1，偶数阶导数是 0。因此，
sin ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots sin(x)=x−3!x3+5!x5−⋯
同样，这也是 sin ( x ) \sin(x) sin(x)的麦克劳林级数。
例子 3： ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln(1+x) 在 x = 0 x = 0 x=0 处的泰勒展开
对于自然对数函数 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln(1+x)，其 n n n 阶导数在 x = 0 x = 0 x=0 处是 ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 ) ! (-1)^{n+1}(n-1)! (−1)n+1(n−1)! 。所以泰勒展开式为：
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+⋯
总结
泰勒展开是一个强大的数学工具，它将复杂的函数表达为幂级数的形式，从而在某个点附近近似该函数。这在数值分析、物理学和工程学中有广泛应用，可以用来逼近函数值、解决微分方程、计算积分等。了解泰勒展开的基本原理和一些典型函数的展开式，对于深入理解和应用数学分析具有重要意义。
原文地址：https://blog.csdn.net/sz66cm/article/details/140621607
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