现值分析
内容来源
数理金融初步（原书第3版）Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社
现值
假设可以按每期计息一次的方式，以每期 r r r 的名义利率借款和贷款
在此条件下，第 i i i 期末支付 v v v 美元的当前价值是多少？
由于金额为 v ( 1 + r ) − i v(1+r)^{-i} v(1+r)−i 的银行贷款在第 i i i 期需要偿还金额 v v v
因此在第 i i i 期支付的 v v v 金额的现值是 v ( 1 + r ) − i v(1+r)^{-i} v(1+r)−i
例：利用现值比较现金流
假设在今后五年的每年年末，将收到一笔钱，一下三个支付序列哪一个更可取
A . 12 14 16 18 20 B . 16 16 15 15 15 C . 20 16 14 12 10 \begin{matrix} A.&12&14&16&18&20\\ B.&16&16&15&15&15\\ C.&20&16&14&12&10\\ \end{matrix} A.B.C.121620141616161514181512201510
如果名义利率为 r r r，每年计息一次，则支付序列的现值为
∑ i = 1 5 ( 1 + r ) − i x i \sum^5_{i=1}(1+r)^{-i}x_i i=1∑5(1+r)−ixi
如果 r r r 很小，那么序列 A A A 是最好的，因为它支付总额最大
对于大一些的 r r r，序列 B B B 可能是最好的。虽然它的支付总额小于 A A A，但前期支付额大于 A A A
对于更大一些的 r r r，序列 C C C 可能就是最好的了，因为它的前期支付额最大
| r | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 0.1 | 59.21 | 58.60 | 56.33 |
| 0.2 | 45.70 | 46.39 | 45.69 |
| 0.3 | 36.49 | 37.89 | 38.12 |
例：等额本息
假设一个人抵押贷款的金额为 L L L，需要在今后的 n n n 个月的每月月末偿还等额 A A A
贷款的月利率为 r r r，每月计息一次
-
已知 L , n , r L,n,r L,n,r，那么 A A A 的值是多少？
-
在第 j j j 月的月末支付完成后，还剩下多少贷款的本金？
-
在第 j j j 月的支付中，多少是利息的支付，多少是本金的扣除？（如果允许提前还款，这是有用的）
解
n n n 个月支付的现值为
A 1 + r + A ( 1 + r ) 2 + ⋯ + A ( 1 + r ) n = A 1 + r ⋅ 1 − ( 1 + r ) − n 1 − ( 1 + r ) − 1 \begin{align*} &\frac{A}{1+r}+\frac{A}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{A}{(1+r)^n}\\ &=\frac{A}{1+r}\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{1-(1+r)^{-1}} \end{align*} 1+rA+(1+r)2A+⋯+(1+r)nA=1+rA⋅1−(1+r)−11−(1+r)−n
这等于贷款额 L L L，那么
A = L r 1 − ( 1 + r ) − n = L ( α − 1 ) α n α n − 1 A=\frac{Lr}{1-(1+r)^{-n}}=\frac{L(\alpha-1)\alpha^n}{\alpha^n-1} A=1−(1+r)−nLr=αn−1L(α−1)αn
其中 α = 1 + r \alpha=1+r α=1+r
第一问完
令 R j R_j Rj 表示在第 j j j 月月末支付完单月偿还额后还欠的本金总额，则
R j + 1 = α R j − A R_{j+1}=\alpha R_{j}-A Rj+1=αRj−A
从 R 0 = L R_0=L R0=L 开始，由数学归纳法得
R j = α j L − A ( 1 + α + ⋯ + α j − 1 ) = α j L − A α j − 1 α − 1 = α j L − L α n ( α j − 1 ) α n − 1 ( 代入第一问的式子 ) = L ( α n − α j ) α n − 1 \begin{align*} R_j&=\alpha^jL-A(1+\alpha+\cdots+\alpha^{j-1})\\ &=\alpha^jL-A\frac{\alpha^j-1}{\alpha-1}\\ &=\alpha^jL-\frac{L\alpha^n(\alpha^j-1)}{\alpha^n-1} \,(代入第一问的式子)\\ &=\frac{L(\alpha^n-\alpha^j)}{\alpha^n-1} \end{align*} Rj=αjL−A(1+α+⋯+αj−1)=αjL−Aα−1αj−1=αjL−αn−1Lαn(αj−1)(代入第一问的式子)=αn−1L(αn−αj)
第二问完
令 I j , P j I_j,P_j Ij,Pj 分别表示在第 j j j 月月末支付的利息和本金的扣除额，则有
I j = r R j − 1 = L ( α − 1 ) ( α n − α j − 1 ) α n − 1 I_j=rR_{j-1}=\frac{L(\alpha-1)(\alpha^n-\alpha^{j-1})}{\alpha^n-1} Ij=rRj−1=αn−1L(α−1)(αn−αj−1)
P j = A − I j = L ( α − 1 ) α n − 1 [ α n − ( α n − α j − 1 ) ] = L ( α − 1 ) α j − 1 α n − 1 \begin{align*} P_j&=A-I_j\\ &=\frac{L(\alpha-1)}{\alpha^n-1}[\alpha^n-(\alpha^n-\alpha^{j-1})]\\ &=\frac{L(\alpha-1)\alpha^{j-1}}{\alpha^n-1} \end{align*} Pj=A−Ij=αn−1L(α−1)[αn−(αn−αj−1)]=αn−1L(α−1)αj−1
不难验证 ∑ P j = L \sum P_j=L ∑Pj=L
排除正利率影响的条件
下列两个现金流序列
b 1 , b 2 , ⋯ , b n c 1 , c 2 , ⋯ , c n b_1,b_2,\cdots,b_n\\ c_1,c_2,\cdots,c_n\\ b1,b2,⋯,bnc1,c2,⋯,cn
在什么条件下对任何正利率 r r r 第一个序列的现值不小于第二个序列的限制？
显然， b i ⩾ c i b_i\geqslant c_i bi⩾ci 是一个充分条件。不过，令
B i = ∑ j = 1 i b j , C i = ∑ j = 1 i c j B_i=\sum^i_{j=1}b_j,C_i=\sum^i_{j=1}c_j Bi=j=1∑ibj,Ci=j=1∑icj
那么， B i ⩾ C i B_i\geqslant C_i Bi⩾Ci 是一个更弱的充分条件
还有一个更弱的充分条件：
如果 B n ⩾ C n B_n\geqslant C_n Bn⩾Cn，并且对于每一个 k = 1 , ⋯ , n k=1,\cdots,n k=1,⋯,n
∑ i = 1 k B i ⩾ ∑ i = 1 k C i \sum^k_{i=1}B_i\geqslant\sum^k_{i=1}C_i i=1∑kBi⩾i=1∑kCi
感觉像放缩
原文地址：https://blog.csdn.net/HEHEE1029/article/details/143522353
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