AcWing 905：区间选点 ← 贪心算法

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/907/

【题目描述】
给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。
输出选择的点的最小数量。
位于区间端点上的点也算作区间内。

【输入格式】
第一行包含整数 N，表示区间数。
接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。

【输出格式】
输出一个整数，表示所需的点的最小数量。

【数据范围】
1≤N≤10^5 ,
−10^9≤ai≤bi≤10^9

【输入样例】
3
-1 1
2 4
3 5

【输出样例】
2

【算法分析】
★ 区间问题，一般来说先按右端点的值从小到大排序。选取右端点的算法价值，在于其可能位于尽可能多的区间内。
★​​​​​​​ 贪心算法问题，难点在于证明其局部最优解就是全局最优解。一种常见的证明思路就是：若证 Local = Global，等价于证明 Local ≤ Global 及 Local ≥ Global。
★​​​​​​​ 针对本题，若设最优解为 ans 个点，贪心算法求出的解为 cnt 个点。若要证明贪心算法的局部最优解就是全局最优解，针对本题本质上就是证明 ans = cnt 即可。证明过程如下：
（1）因为 ans 是最优解，所以 ans ≤ cnt。
（2）据贪心算法思想，每次让选取的点数加 1 的区间一定不相交，由于贪心算法求出的点数为 cnt，故共计 cnt 个这样的区间。为了覆盖这 cnt 个区间，至少需要 cnt 个点。所以 ans ≥ cnt。

（3）由 ans ≤ cnt 及 ans ≥ cnt，可证 ans = cnt。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+5;

struct Scope {
    int le,ri;
} a[maxn];

bool up(Scope u,Scope v) {
    return u.ri<v.ri;
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        cin>>a[i].le>>a[i].ri;
    }
    sort(a,a+n,up);

    int ans=0;
    int t_ri=-inf;
    for(int i=0; i<n; i++)
        if(t_ri<a[i].le) {
            ans++;
            t_ri=a[i].ri;
        }
    cout<<ans<<endl;

    return 0;
}

/*
in:
3
-1 1
2 4
3 5

out:
2
*/

【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/16905/
https://www.acwing.com/video/335/
https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/9846312/





 

原文地址：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/142840548

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