堆的结构实现与应用
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前言:
堆其实与二叉树息息相关，本篇将从如何实现堆，以及堆的应用等方面入手。
1.认识堆
a.如何认识堆？
我们只要记住关键的两点：1.堆必须是完全二叉树。2.堆要么是大堆，要么是小堆。
b.大根堆与小根堆
那什么是大堆，什么又是小堆呢？
大堆：树中任意一个父亲都大于或等于孩子。
小堆：树中任意一个父亲都小于或等于孩子。
c.堆应用的简单认识
堆排序：时间复杂度为O(N*logN),属于快一点的排序。
topk问题：N个数找最大的前K个。
优先级队列：C++中stl的priority_queue容器的底层实现需要用到建堆的思想。
2.堆的结构与要实现的功能
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;
HPDataType size;
HPDataType capacity;
}HP;
void InitHeap(HP* php);
void DestroyHeap(HP* php);
void PushHeap(HP* php, HPDataType x);
void HeapPop(HP* php);
HPDataType HeapTop(HP* php);
bool HeapEmpty(HP* php);
int HeapSize(HP* php);
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
void AdjustDown(int* a, int n, int parent);
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
我们提供以下数据来建堆：
3.向上调整算法
我们现在如果要让提供的数据插入到这个堆里面，如何保证插入的时候就建好堆了呢？这时我们就要用到向上向下调整的算法了。假设我们现在要建一个小堆，就要保证每一个子节点都要小于或者等于它的父节点，用我们提供好的数据，当插入到32这个数据的时候就要进行调整了：
既然是向上调整，那我们就要找孩子的父亲，那如何找到父亲呢？通过下标的关系可以发现，不管是左还是右孩子，只要遵循(child-1)/2就能找到父亲的下标，然后就是交换嘛；交换过后我们要让孩子走到父亲位置，再找到新的父亲，一轮一轮的向上，这就是向上调整算法：
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
//默认建小堆
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)//等于0就停止了，等于0说明孩子在根的位置，就没有父亲了
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;//孩子走到父亲的位置继续再找新的父亲
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
要注意的就是循环条件，如果孩子走到0说明走到根的位置了，就没有父亲了，循环停止。
4.向下调整算法
向下调整算法与向上调整算法相反，其实向下就是找孩子，如果建小堆就让左右孩子中最小的孩子与父亲交换（最小的孩子与父亲交换后，父亲就变成三者中最小的了，符合小堆的性质），再让父亲走到孩子的位置上，再往下继续找到新的孩子，直到孩子不存在的情况。
关键来了，如何找到左右孩子中的最小的那个呢？如何通过父亲找到孩子呢？
我们可以默认左孩子是最小的那一个，如果左孩子大于右孩子，那做孩子的下标+1不就到右孩子了吗？解决了第一个问题，那如何通过父亲找到孩子呢，既然我们默认左孩子是小的那一个，我们可以先找到左孩子，通过下标的关系，我们就知道左孩子child=parent*2+1，好了，这就是向下调整算法的思路，来看代码：
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
//默认小堆
int child = parent * 2 + 1;//默认是左孩子
while (child < n)
{
//这里右孩子的存在条件必须放在&&的前面，因为如果放在后面，前面的条件为假，右孩子也为假，就判断不出来是哪个了（检查右孩子存在必须更严格）
if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])//如果右孩子存在（因为如果左孩子为n-1,那右孩子就为n了，就越界了）并且左孩子大于右孩子，下标就走到右孩子上
{
child = child + 1;
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
注意点：
1.我们既然默认左孩子为小的那一个，那结束条件就应该是左孩子不存在的情况即当左孩子等于n的时候就越界了，而又由于堆是完全二叉树，所以左孩子不存在，那右孩子一定不存在，所以只写这一个就行。
2.child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]，首先需要注意左孩子存在，但右孩子不存在的情况，所以判断child+1<n，其次这个条件要写到&&的前面，因为如果写到后面，a[child]>a[child+1]为假，就判断不出右孩子可能越界的情况了，所以右孩子的检查应该放到&&前面。
5.向堆插入数据并建堆
void PushHeap(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
int NewCapacity = php->capacity = 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * NewCapacity);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity = NewCapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
AdjustUp(php->a, php->size - 1);//向上调整传孩子，即插入的数据，找父亲
}
需要注意的是最后向上调整传的孩子是插入的数据的下标，因为插入后size++了，所以-1才对应插入的数据的下标。
6.堆的大小
int HeapSize(HP* php)
{
assert(php);
return php->size;
}
7.堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
8.取堆顶数据
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(&php));
return php->a[0];
}
9.删除堆顶数据
如果我们直接删除堆顶的数据会导致这个堆变乱，所以我们采用交换堆顶和堆尾的数据，将堆的大小减1，这样就访问不到堆尾的数据也就起到了删除的效果了，然后我们再从根节点开始做向下调整算法，恢复堆即可，注意空堆不能删，要判空：
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(&php));
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);//从根节点开始向下调整
}
10.向上调整时间复杂度
按最坏的情况计算时间复杂度，就拿满二叉树来说：
我们先找到每一次的节点数，再乘向上调整的次数，假设树的高度为h，那我们就将1-h层的所有节点的调整次数相加，就是时间复杂度（计算采用等比数列求和的乘公比错位相减的方法）：
又因为满二叉树的节点个数为2^h-1，所以我们设树有N个节点，就能得到高度，再代入F(h)：
实际去除不影响结果的项也就是O(N*logN)，N为节点个数。
11.向下调整时间复杂度
一样拿满二叉树来说：
实际计算结果：
实际去除不影响结果的项也就是O(N),N为节点个数。
12.堆排序
a.直接将数组放到堆再取堆顶
void HeapSort1(int* a, int n)
{
HP hp;
InitHeap(&hp);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
PushHeap(&hp, a[i]);
}
int i = 0;
while (!HeapEmpty(&hp))
{
int top = HeapTop(&hp);
a[i++] = top;
HeapPop(&hp);
}
}
这样的坏处就是想要改升序降序要改向上向下调整的逻辑，有些麻烦，而且时间上有些麻烦，需要堆排的时候还要写一个堆出来。
b.在将数组放到堆的时候就直接调整，用数组建堆
如果我们要排成降序，就建小堆，小堆选出最小的，首尾交换，最小的放到最后的位置，最后一个数据不看做堆里面的，再次向下调整就可以选出次小的，以此类推，相当于一个一个头插；
调用一次是O(logN)，N次就是O(N*logN)，计算方法跟向下调整差不多；
向下调整建堆需要倒着调整，叶子节点不需要处理，倒数第一个非叶子节点即最后一个节点的父亲开始调整：
void HeapSort(int* a, int n)
{
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);
AdjustDown(a, end, 0);
--end;
}
}
如果我们要排升序，只需要改动向下调整或者写两个建堆方法：
改动两处：选孩子时选大的那个；如果孩子大于父亲，交换：
建堆时也可向上调整建堆，具体实现博主暂时不清楚~~~：
for (int i = 1; i < n; i++)//下标为0即第一个数默认是堆
{
AdjustUp(a, i);//建堆,相当于一个一个插入成堆
}注意：
1.为什么升序不建小堆呢？因为小堆最小的已经在前面了，不管是移动还是怎么剩下的都要重新建堆
2.堆排序整体时间复杂度为N+N*logN，也就是O（N*logN）
13.topk问题
什么是topk问题？
就是N个数找最大的前N个：
面对庞大的数据，数据放在磁盘的文件里面，而内存是有限的，所以我们将这些数据的前k个建堆，将剩下的数据与堆顶元素进行比较，符合条件就交换，然后再调整，重复操作即可，那该怎么建堆呢？首先对前3 数据进行建一个小堆，注意这里不能建大堆，如果建大堆的话，可能最大的数据在前三个数，其余2个数据在余下的 N-K个数里面，这样其余2个就不能进堆了：
void CreateNData()
{
//造数据
int n = 10000;
srand((unsigned int)time(0));
const char* file = "data.txt";
FILE* fin = fopen(file, "w");
if (fin == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
int x = rand() % 1000000;
fprintf(fin, "%d\n", x);
}
fclose(fin);
}
void PrintTopK(int k)
{
const char* file = "data.txt";
FILE* fout = fopen(file, "r");
if (fout == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
if (kminheap == NULL)
{
perror("malloc error");
return;
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
fscanf(fout, "%d", &kminheap[i]);
}
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(kminheap, k, i);
}
int val = 0;
while (!feof(fout))//fscanf读到文件结尾，调用feof，feof读到文件末尾返回非0，否则返回0
{
fscanf(fout, "%d", &val);
if (val > kminheap[0])
{
kminheap[0] = val;
AdjustDown(kminheap, k, 0);
}
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", kminheap[i]);
}
printf("\n");
}
总结：
堆的结构不难，难在和其他的场景联系到一起并涉及一些算法，所以还是掌握好它结构和算法的基础为主
原文地址：https://blog.csdn.net/2301_79698419/article/details/136179286
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