庞特里亚金极小值原理
庞特里亚金极小值原理 Pontryagin’s Minimum Principle
1 问题描述
庞特里亚金极小值原理是最优控制中的一类经典方法。
该问题的典型框架如下：
系统状态方程
X
˙
=
f
(
X
,
U
,
t
)
X
(
t
)
∈
R
n
\dot{X}=f(X,U,t)\quad X(t)\in\mathbb{R}^n
X˙=f(X,U,t)X(t)∈Rn
控制约束
U
∈
Ω
,
U
(
t
)
∈
R
m
U\in\Omega,U( t) \in R^m
U∈Ω,U(t)∈Rm
初始条件
X
(
t
0
)
=
X
0
X(t_0)=X_0
X(t0)=X0
终端约束
G
[
X
(
t
f
)
,
t
f
]
=
0
G\bigg[X(t_f),t_f\bigg]=0
G[X(tf),tf]=0
指标函数
J
=
ϕ
[
X
(
t
f
)
,
t
f
]
+
∫
t
0
t
f
F
(
X
,
U
,
t
)
d
t
J=\phi\bigg[X(t_f),t_f\bigg]+\int_{t_0}^{t_f}F(X,U,t)dt
J=ϕ[X(tf),tf]+∫t0tfF(X,U,t)dt
要求选择控制输入
U
∗
U^*
U∗，使得
J
J
J取最小。
2 原理描述
庞特里亚金极小值原理给出了一个使得
J
J
J取最小的必要条件。
首先构造哈密顿函数
H
(
X
,
U
,
λ
,
t
)
=
F
(
X
,
U
,
t
)
+
λ
T
f
(
X
,
U
,
t
)
H(X, U, \lambda, t)=F(X, U, t)+\lambda^{T} f(X, U, t)
H(X,U,λ,t)=F(X,U,t)+λTf(X,U,t)
极小值原理：
J
J
J取极小时，
X
,
U
,
λ
,
t
f
X,U,\lambda,t_f
X,U,λ,tf满足如下方程
λ
˙
=
−
∂
H
∂
X
协态方程
X
˙
=
∂
H
∂
λ
状态方程
X
(
t
0
)
=
X
0
G
[
X
(
t
f
)
,
t
f
]
=
0
边界条件
λ
(
t
f
)
=
∂
ϕ
∂
X
(
t
f
)
+
∂
G
T
∂
X
(
t
f
)
v
，
横截条件
H
(
t
f
)
=
−
∂
ϕ
∂
t
f
−
∂
G
T
∂
t
f
v
，
终端条件
min
U
∈
Ω
H
(
X
∗
,
λ
∗
,
U
,
t
)
=
H
(
X
∗
,
λ
∗
,
U
∗
,
t
)
,
最优控制
\begin{aligned} & \dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial X} &\text { 协态方程} \\ &\dot{X}=\frac{\partial H}{\partial \lambda} &\text{状态方程}\\ &X\left(t_{0}\right)=X_{0} \quad G\left[X\left(t_{f}\right), t_{f}\right]=0 &\text { 边界条件} \\ &\lambda\left(t_{f}\right)=\frac{\partial \phi}{\partial X\left(t_{f}\right)}+\frac{\partial G^{T}}{\partial X\left(t_{f}\right)} v ，&\text { 横截条件 } \\ &H\left(t_{f}\right)=-\frac{\partial \phi}{\partial t_{f}}-\frac{\partial G^{T}}{\partial t_{f}} v，&\text { 终端条件 } \\ &\min _{U \in \Omega} H\left(X^{*}, \lambda^{*}, U, t\right)=H\left(X^{*}, \lambda^{*}, U^{*}, t\right), \quad &\text { 最优控制 } \\ \end{aligned}
λ˙=−∂X∂HX˙=∂λ∂HX(t0)=X0G[X(tf),tf]=0λ(tf)=∂X(tf)∂ϕ+∂X(tf)∂GTv，H(tf)=−∂tf∂ϕ−∂tf∂GTv，U∈ΩminH(X∗,λ∗,U,t)=H(X∗,λ∗,U∗,t), 协态方程状态方程 边界条件 横截条件 终端条件 最优控制
3 一个简单例子
针对二阶系统，由于系统状态方程不显含x，因此其协态方程会出现零项，使得 λ x \lambda_x λx是常数。
原文地址：https://blog.csdn.net/LENG_Lingliang/article/details/140532529
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