物理学基础精解【62】

速度

是一个描述物体运动快慢和方向的物理量。为了更精确地描述物体的运动，我们引入了平均速度、瞬时速度、速率和速度方向等概念。以下是这些概念的定义、性质、公式以及例子和例题。

一、平均速度

1. 定义：平均速度是物体在一段时间内运动的位移与所用时间的比值。
2. 性质：
   • 平均速度是矢量，有大小和方向。
   • 其大小等于位移的大小除以时间，方向与位移方向相同。
3. 公式：$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$，其中$\Delta x$是位移，$\Delta t$是时间。
4. 例子：一个物体从A点运动到B点，用时5秒，位移为10米，则平均速度为2米/秒，方向从A指向B。

例题：
一辆汽车从甲地开往乙地，全程100公里，用时2小时。求汽车的平均速度。
解：根据公式，汽车的平均速度为$\bar{v}=\frac{100\text{km}}{2\text{h}}=50\text{km/h}$。

二、瞬时速度

1. 定义：瞬时速度是物体在某一时刻或某一位置的速度。
2. 性质：
   • 瞬时速度是矢量，有大小和方向。
   • 它描述了物体在某一瞬间的运动状态。
3. 公式：在极限情况下，瞬时速度可以表示为$v={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$，或者通过导数表示为$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}$。
4. 例子：一个物体在t=0时刻的速度为3米/秒，方向向东，则这是该时刻的瞬时速度。

例题：
一个质点的运动方程为$x(t)=2t^2+3t$（单位：米，秒）。求质点在t=1秒时的瞬时速度。
解：对运动方程求导得$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=4t+3$。将t=1代入得$v(1)=4\times 1+3=7\text{m/s}$。

三、速率

1. 定义：速率是物体运动的路程与所用时间的比值，或者瞬时速度的大小。
2. 性质：
   • 速率是标量，只有大小，没有方向。
   • 它描述了物体运动的快慢程度。
3. 公式：速率$r=\frac{s}{t}$，其中s是路程，t是时间。对于瞬时速率，可以表示为$r=|v|$。
4. 例子：一个物体在一段时间内运动了100米，用时20秒，则速率为5米/秒。

例题：
一个物体做圆周运动，半径为1米，角速度为2π弧度/秒。求物体的速率。
解：速率等于线速度的大小，即$r=v=\omega r=2\pi \times 1=2\pi \text{m/s}$。

四、速度方向

1. 定义：速度方向是物体运动的方向，即瞬时速度矢量的方向。
2. 性质：
   • 速度方向是矢量方向的一部分，与瞬时速度共线。
   • 它描述了物体运动的趋向。
3. 公式：速度方向通常通过角度或单位矢量来表示。
4. 例子：一个物体向北运动，则速度方向为北。

例题：
一个物体以初速度$v_0$向东抛出，同时受到向南的重力作用。求物体在最高点的速度方向。
解：在最高点，物体只有水平方向的速度分量，即向东的速度$v_0$。因此，速度方向为东。

加速度和速度的变化率

是描述物体速度变化快慢的两个重要物理量，它们之间有着紧密的联系。以下是对这两个概念的详细解释：

一、加速度

1. 定义：

• 加速度（Acceleration）是描述物体速度变化快慢的物理量。它等于速度的改变量跟发生这一改变量所用时间的比值。

2. 性质：

• 加速度是矢量，具有大小和方向。其大小表示速度变化的快慢，方向表示速度变化的方向。
• 在国际单位制中，加速度的单位是米每二次方秒（m/s²）。

3. 公式：

• 加速度的定义式为a = Δv/Δt，其中Δv是速度的变化量，Δt是时间的变化量。

4. 与速度的关系：

• 加速度与速度无必然联系。加速度很大时，速度可以很小；速度很大时，加速度也可以很小。
• 在变速直线运动中，若加速度的方向与速度方向相同，则物体做加速运动；若加速度的方向与速度方向相反，则物体做减速运动。

5. 例子：

• 汽车启动时，加速度可能较大，但速度从零开始逐渐增加。
• 自由落体运动中，物体在地球表面附近的加速度约为9.8m/s²（重力加速度），而速度则随时间不断增加。

二、速度的变化率

1. 定义：

• 速度的变化率（Rate of Change of Velocity）是指单位时间内速度的变化量，也称为加速度。

2. 性质：

• 速度的变化率是描述物体速度变化快慢的物理量，与加速度在本质上是一致的。
• 它同样是矢量，具有大小和方向。

3. 公式：

• 速度的变化率可以用加速度的公式a = Δv/Δt来表示，其中Δv是速度的变化量，Δt是时间的变化量。

4. 与加速度的关系：

• 在物理学中，速度的变化率与加速度是同义词，它们描述了物体速度随时间变化的快慢。

5. 例子：

• 当一个物体在恒定加速度下运动时（如汽车以恒定加速度启动），其速度的变化率（即加速度）保持不变。

综上所述，加速度和速度的变化率是描述物体速度变化快慢的两个物理量，它们在本质上是相同的。加速度是速度变化量与时间的比值，而速度的变化率则是单位时间内速度的变化量。这两个概念在物理学中都具有重要的意义，并广泛应用于各种运动学问题的分析和解决中。

牛顿第二定律公式

是物理学中描述物体运动状态与所受外力之间关系的基本定律之一。该定律由艾萨克·牛顿在1687年提出，并表述为：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
公式表示为F=ma，其中F代表物体所受的合外力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。

一、公式含义

• 合外力F：作用在物体上的所有力的矢量和。当物体受到多个力的作用时，这些力可以合成一个等效的力，即合外力。
• 质量m：物体的质量，是物体惯性大小的量度。质量越大的物体，在受到相同外力作用时，产生的加速度越小。
• 加速度a：物体速度变化的快慢，是速度变化量与时间的比值。加速度是矢量，有大小和方向。

二、公式特性

• 矢量性：牛顿第二定律公式是一个矢量方程。合外力F和加速度a都是矢量，它们不仅有大小，还有方向。在应用公式时，必须注意矢量的方向性。
• 瞬时性：牛顿第二定律描述的是力的瞬时作用效果。当物体所受的外力发生突然变化时，物体的加速度也会立即发生变化。
• 因果性：力是产生加速度的原因，没有力就没有加速度。这是牛顿第二定律所揭示的力和运动状态之间的因果关系。

三、公式应用

• 求解加速度：已知物体的质量和所受的合外力时，可以通过公式F=ma求解物体的加速度。
• 分析运动状态：通过比较物体所受的合外力与物体的加速度方向，可以分析物体的运动状态是加速还是减速。
• 设计实验：在物理实验中，可以利用牛顿第二定律公式设计实验来验证力、质量和加速度之间的关系。

四、公式限制

• 适用范围：牛顿第二定律只适用于低速运动的宏观物体。在高速运动（接近光速）或微观领域（如原子、分子等），牛顿第二定律不再适用。
• 参照系选择：牛顿第二定律只在惯性参照系中成立。在非惯性参照系中，需要引入惯性力来修正公式。

五、公式实例

• 例子：一个质量为2kg的物体在水平面上受到一个大小为10N的水平拉力作用，开始从静止状态做匀加速直线运动。根据牛顿第二定律公式F=ma，可以计算出物体的加速度为a=F/m=10N/2kg=5m/s²。

重力计算

通常涉及地球（或其他天体）对物体的吸引力。在地球表面，重力加速度是一个常数，约为 $9.81{\text{m/s}}^2$（或简写为 $g=9.81{\text{m/s}}^2$）。这意味着，如果不考虑空气阻力，一个物体在地球表面自由下落时，它的速度每秒会增加约 $9.81\text{m/s}$。

重力计算公式

1. 重力大小（即物体所受的重力）：
   $$F=mg$$
   其中：

   • $F$ 是重力（单位：牛顿，N）
   • $m$ 是物体的质量（单位：千克，kg）
   • $g$ 是重力加速度（在地球表面约为 $9.81{\text{m/s}}^2$）

2. 自由落体运动的距离（即物体在重力作用下下落的距离）：
   $$d=\frac{1}{2}g{t}^2$$
   其中：

   • $d$ 是下落的距离（单位：米，m）
   • $g$ 是重力加速度（$9.81{\text{m/s}}^2$）
   • $t$ 是时间（单位：秒，s）

3. 自由落体运动的速度（即物体在重力作用下下落的速度）：
   $$v=gt$$
   其中：

   • $v$ 是速度（单位：米每秒，m/s）
   • $g$ 是重力加速度（$9.81{\text{m/s}}^2$）
   • $t$ 是时间（单位：秒，s）

示例计算

示例 1：计算一个质量为 $50\text{kg}$ 的人在地球表面所受的重力。

$$F=mg=50\text{kg}\times 9.81{\text{m/s}}^2=490.5\text{N}$$

示例 2：计算一个物体在自由落体运动中，经过 $5\text{s}$ 后下落的距离。

$$d=\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{1}{2}\times 9.81{\text{m/s}}^2\times (5\text{s}{)}^2=122.625\text{m}$$

示例 3：计算一个物体在自由落体运动中，经过 $5\text{s}$ 后达到的速度。

$$v=gt=9.81{\text{m/s}}^2\times 5\text{s}=49.05\text{m/s}$$

重力加速度的公式

通常表示为 $g=\frac{F}{m}$，其中 $g$ 是重力加速度，$F$ 是物体所受的重力，$m$ 是物体的质量。然而，这个公式更多是用来描述重力加速度与重力和质量之间的关系，而不是直接用来计算重力加速度的。

在地球表面附近，重力加速度 $g$ 是一个近似常数的值，约为 $9.81{\text{m/s}}^2$（或简写为 $g\approx 9.81{\text{m/s}}^2$）。这个值是由地球的质量和半径决定的，可以通过万有引力定律和牛顿第二定律联立求解得出，但在大多数情况下，我们直接使用这个近似值。

如果你想要更精确地计算地球表面某一点的重力加速度，可以考虑使用以下公式（虽然在实际应用中，通常仍然使用近似值）：

$$g=\frac{G\cdot M}{r^2}$$

其中：

• $G$ 是万有引力常数，约为 $6.67430\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$。
• $M$ 是地球的质量，约为 $5.972\times 10^{24}\text{kg}$。
• $r$ 是地球表面某点到地球质心的距离，可以近似为地球的半径加上该点的高度（如果高度相对于地球半径很小，可以忽略不计），地球的平均半径约为 $6.371\times 10^6\text{m}$。

然而，请注意，这个公式仍然是一个近似公式，因为它假设了地球是一个完美的球体，并且忽略了地球自转和地球内部质量分布的不均匀性等因素。在实际应用中，通常使用地球重力场模型（如EGM96、EGM2008等）来更精确地描述地球的重力场和重力加速度的分布。

已知速度的坐标分量，求速度大小

在二维情况下，如果速度有两个分量，分别是$v_x$（x方向上的速度分量）和$v_y$（y方向上的速度分量），那么速度大小$v$可以通过以下公式计算：

$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

在三维情况下，如果速度有三个分量，分别是$v_x$、$v_y$和$v_z$，那么速度大小$v$可以通过以下公式计算：

$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$

这些公式来源于矢量模长的定义，即矢量的大小等于其各分量平方和的平方根。在物理学中，速度是一个矢量，因此其大小可以通过这种方式计算。

总结来说，无论速度是在二维还是三维空间中，只要知道其在各个坐标轴上的分量，就可以通过相应的公式计算出速度的大小。

参考文献

1. 文心一言

原文地址：https://blog.csdn.net/sakura_sea/article/details/142830041

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