线性代数（宋浩版）（4）

2.4逆矩阵

（不要把矩阵放在分母上）

方阵的行列式

性质1

性质2

性质3

伴随矩阵（只有方阵才有）

1.求出所有元素的代数余子式（矩阵先求行列式）。

2.按行求的代数余子式按列放。

定理1（重要）

定理2

|A|不等于0，|A*|=|A|n-1

（以后可以证明无论是否A的行列式等于零，该定理都成立）

注：所有方阵都拥有伴随矩阵。

逆矩阵定义（前提必须是方阵）

A是n阶方阵，存在n阶方阵B,AB=BA=E,记作A-1=B

（1）未必所有方阵均可逆。

比如0矩阵就不可逆，因为0矩阵乘其他任何矩阵都为0矩阵

（2）若一个方阵可逆，则其逆矩阵唯一。

逆矩阵的前提

*定理3

A可逆的充要条件是|A|不等于0（且A为方阵），A-1=1/|A|A*

推论

A为n阶方阵，B为n阶方阵，AB=E/BA=E（证明一个即可），则A可逆，A-1=B

伴随矩阵法（计算量大）

*初等变换法（初等变换法的解法在后面，该题使用的方法并不是初等变换法。）

矩阵方程

注：1.方程中的公因子提出的时候，要保证方向一致。

2.矩阵和数之间没法进行运算，所以当矩阵减一个数或者是加一个数的时候，嗯，要给那个数乘上E单位矩阵。（一般是不会直接对数进行加减的，这里指的数是指把公因子提完之后剩下的数字。）

3.矩阵不能放在分母上。

4.使用逆矩阵前先判断是否可逆。

性质4

A矩阵可逆， A的逆矩阵就可逆。 A的逆矩阵的逆矩阵等于A。

性质5

A,B均可逆，AB也可逆。

性质6

如果a可逆，那么a的转置也可逆，并且a的转置的逆矩阵等于a的逆矩阵的转置。（后面还有一个k的）

性质7

如果a可逆，AD的行列式等于 a的行列式的-1次方。

性质8

A可逆a的伴随矩阵也可逆且a的伴随矩阵的逆矩阵等于 a的行列式/1乘a。

2.5分块矩阵

标准型

从左上角开始的一串1（不断），其余的地方都是0；（标准型不一定是方阵）

分块

分块加法

数乘

乘法

前提分块条件要使Ai能与Bj块相乘

转置

1.把子块视作普通元素求转置。

2.对每个子块求转置

推论（A，B可逆）

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