【数学建模】基于空间模型设计的创意平板折叠桌

【摘要】

本文主要针对于创意平板折叠桌的设计参数进行分析和求解，具体通过空间解析几何的相关知识，用已知参数求出未知参数、用已知参数求出最优参数。对于问题一，给出了平板尺寸、木棍宽度和桌子高度利用连续性问题离散求解的方法推导出桌脚边缘线和开槽长度；对于问题二，与问题一不同点在于给出了桌面高度和桌面直径，未能确定桌子的其它参数。需要考虑到产品稳固性好、加工方便和用材最少的三方面因素，确定桌长和开口长度，进而确定平板折叠桌的其它参数；对于问题三，需要给出一软件设计的数学模型，能够根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状和切实可行的最优设计加工参数。针对问题一，即用所给的长方形平板尺寸和折叠后的桌子的高度，建立模型描述折叠桌的动态变化过程，给出相关加工参数。首先对圆桌面进行分析，分析出可行方案只有外接圆，内接圆的桌腿小于桌面高度，因此不能使用。以圆心为中心建立空间直角坐标系，先根据坐标系画出对于圆的方程，由于中心对称的关系，求解四分之一圆即可得到平板折叠桌的动态变化过程，使用三角形全等可得到圆的半径为251247cm,将圆的半径进行离散化，由于木条的宽度为2.5cm,所以将其离散为10个点，进行接下来的求解过程。运用相似和向量等知识求解出建立数学模型，利用Matlab和Ligo进行求解，最终得到总开槽长度为118.4cm,具体开槽长度和桌脚边缘线如表1和图7.针对问题二，即考虑产品稳固性、加工方便、和用材最少的因素确定折叠桌的相关参数。题目给出桌面半径和桌面高度，以折叠桌的平板面积最小等价加工方便和用材最少；以开槽长度最小等价与产品稳固性。对产品的稳固性和加工方便进行约束，运用问题一相似的求解步骤，建立双目标优化模型，利用Lgo进行求解，最终得到平板长度为147cm,总开槽长度为600.14cm,平板总面积为11577cm2,具体数据如表2所示。针对问题三，即给出软件设计的数学模型，能够根据客户任意设定的参数，给出平板切实可行的最优设计加工参数。以问题一和问题二为基础，将木条个数和具体桌面形状设为自变量，建立模型，利用Ligo求解出最优设计加工参数。以椭圆桌面为例子，椭圆方程为x2/2500+y2/900=1,高度为90cm,木条宽度为3cm,求解出具体加工参数如下，长方形平板面积规为188cm*60cm,总面积为33840c,总开槽长度为286.75cm,具体数据如表3所示。
关键词：双目标优化、空间解析几何、离散化、Matlab画图、折叠桌

一、问题重述

1.1引言

随着数学建模运用逐渐广泛，为了能够减小桌子的占用空间，增大桌子的携带性，某公司生产了一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿可以通过铰链的活动平摊成一张平板，达到减小桌面占用空间的目的。在设计桌子中，为了产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面的直径的设计都有不同的要求。

折叠桌的桌腿由若干跟木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，沿木条上会有空槽保证滑动的自由度，桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

1.2问题提出

请根据折叠桌的组成原理，和折叠桌的动态变化过程，结合给定长方形平板和每个木条的尺寸，试建立数学模型讨论一下问题：

1.给定长方形平板尺寸、木条宽度和折叠后桌子高度，钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置连接桌腿木条，试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并写出此折叠桌桌腿木条开槽长度等设计加工参数和桌角边缘线的数学描述。

2.为了得到的折叠桌产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论出长方形平板材料和折叠桌最优设计的平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等加工参数。 并给出桌高70cm，桌面直径80cm的最优设计参数。

3.公司计划开发各种可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌角边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优化设计参数的设计软件，尽可能满足客户的需求。主要任务为给出一种折叠桌软件设计的的数学模型，并根据此模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌，以及其相应的设计加工参数，并画出折叠桌至少8张的动态变化过程的示意图。

二、问题分析

本题目主要根据折叠桌的尺寸，结合折叠桌的动态变化过程，对折叠桌的设计加工参数和动态变化过程进行研究。针对问题1，需建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给出此折叠桌的桌腿木条开槽的长度等设计加工参数和桌角边缘线的数学描述；针对问题2，对于桌高70cm，桌面直径80cm的折叠桌，确定最优设计加工参数，需要包含平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等；针对问题3，给出一种折叠桌软件设计的数学模型，能够给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计参数，并根据所建立的模型给出自己设计的创意平板折叠桌的设计加工参数和动态变化示意图，结合以上三个具体问题，分别做如下分析：

2.1问题1分析

在第一问中，根据题目给出图一折叠后的折叠桌示意图，我们需要先对圆桌属于内接圆还是外接圆进行分析，然后建立空间直角坐标系，结合给出的长方形平板的尺寸、每根木条的宽度和折叠后桌子的高度，计算出木条与圆交点坐标、钢筋坐标、桌腿末端坐标，建立关于折叠桌动态变化过程的数学模型，以及桌腿木条开槽的长度和桌角边缘线的数学描述，具体分析流程如下图1：

2.2问题2分析

在第二问中，根据题目要求，折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，并对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。因此，在第一问的基础上，由于需要保证折叠桌的产品稳固性好、用材最少，因此可以先以桌面面积最小为目标，开槽长度最小为约束条件，进行求解，再以开槽长度最小保证稳固性好为目标，桌面面积最小为约束条件，分别建立最优化模型，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。

2.3问题3分析

在第三问中，需要在问题一和问题二的基础上，设计一种折叠桌软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最有设计加工参数。首先为了保证折叠桌的稳固性好，需要保证需要制作的折叠桌是相对对称图形，取其木条宽度中点所对应的高度作为参数，根据问题二建立的双目标最优化模型进行修改，利用lingo计算出所设定的折叠桌所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，再根据所建立的最优化模型设计两款自己设计的创意板折叠桌，最后利用matlab绘制出相应的动态变化过程的示意图。

四、模型假设

1、假设桌腿和桌面的折叠处缝隙忽略不计。

2、假设每根木条的宽度都为2.5cm。

3、假设长方形木板厚度恒为3cm。

4、假设折叠桌是完全对称图形。

5、忽略加工对设计造成的误差。

6、木条需要预留头尾空间，保证木条的质量。

五、模型建立与求解

针对本题不同的折叠桌的长方形平板尺寸和高度，给出折叠桌的动态变化过程、设计加工参数和桌角边缘线的数学描述。根据题目各图和附件视频，结合折叠桌子相关数据，建立数学模型，设计相应的算法，得出各个折叠桌的动态变化图和相关设计加工参数。

为了保证折叠桌的设计做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，计算得出的折叠桌最优设计加工参数合理且自行设计的倡议平板折叠桌可行，有必要利用matlab进行绘画，有助于得到更佳的设计。

5.1问题1：折叠桌的设计加工

在本问中，根据长方形平板的尺寸、每跟木条的宽度和折叠后桌子的高度相关数据，结合附件视频，首先对圆桌面进行分析，分析桌面圆为内接圆还是外接圆，建立模型描述折叠桌的动态变化，并建立空间直角坐标系，通过空间几何知识，计算桌腿长度、钢筋坐标和桌腿末端坐标等，从而计算出折叠桌木条开槽长度和给出桌脚边缘线的数学描述。

5.1.1圆桌面的分析

根据图一分析，由于折叠原因，折叠桌面为不规则圆形，为方便计算折叠桌的相关设计加工参数，因此需要对圆桌面所对应的圆为内接圆还是外接圆进行分析，具体分析如下。

（1）折叠桌桌面为内接圆

木条编号	桌腿长度	开槽长度	木条编号	桌腿长度	开槽长度
1	57.5	0	11	35	17.6853
2	48.8197	2.3833	12	35.3779	17.0741
3	44.7931	5.2957	13	36.0208	16.0570
4	41.9722	8.0985	14	36.9511	14.6373
5	39.8444	10.6318	15	38.2055	12.8232
6	38.2055	12.8232	16	39.8444	10.6318
7	36.9511	14.6373	17	41.9722	8.0985
8	36.0208	16.0570	18	44.7931	5.2957
9	35.3779	17.0741	19	48.8197	2.3833
10	35	17.6853	20	57.5	0

（2）桌脚边缘线

根据以上推导过程，建立数学模型，构造桌脚边缘线在空间直角坐标系下各坐标的关系，利用matlab绘画出桌脚边缘线，折叠桌桌角边缘线如下图7所示：

图7：折叠桌桌角边缘线示意图

绘画出折叠桌的动态变化图如下图8：

5.2问题2：最优设计加工参数

在本问中，需要在问题1的模型Ⅰ基础上，考虑产品的稳固性好、加工方便、用材最少，并根据给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，确定最优设计加工参数，以折叠桌平板面积最小和开槽长度最小作为双目标，对产品的稳固性和加工方便进行约束，写出关键点的坐标表达式，建立最优化模型，设计算法，求解确定最优设计加工参数。

5.2.1折叠桌稳固性

根据题目给出的折叠桌动态变化过程，结合上网查询得出，折叠桌的稳固性与折叠桌的开槽长度有关，开槽长度越小，折叠桌的稳固性越好，因此需要以折叠桌的总开槽长度最小为目标，面积最小进行约束，建立模型进行计算，折叠桌受力示意图如下图9：

表2：桌腿长度和开槽长度数据表

木条编号	桌腿长度	开槽长度	木条编号	桌腿长度	开槽长度
1	71	0	16	31.3137	65.9283
2	57.0806	14.7168	17	31.7094	64.9850
3	51.6351	23.3397	18	32.2702	63.6539
4	47.6816	30.4749	19	33.0033	61.9243
5	44.5425	36.6014	20	33.9190	59.7813
6	41.9526	41.9302	21	35.0313	57.2053
7	39.7750	46.5841	22	36.3590	54.1708
8	37.9281	50.6449	23	37.9281	50.6449
9	36.3590	54.1708	24	39.7750	46.5841
10	35.0313	57.2053	25	41.9526	41.9302
11	33.9190	59.7813	26	44.5425	36.6014
12	33.0033	61.9243	27	47.6816	30.4749
13	32.2702	63.6539	28	51.6351	23.3397
14	31.7094	64.9850	29	57.0806	14.7168
15	31.3137	65.9283	30	71	0

5.3问题3：折叠桌设计

在问题一和问题二的模型基础下，需要开发一种设计软件，根据客户任意设定的折叠高度、桌腿边缘线的形状大小和桌腿边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数的数学模型，并设计两种自创的创意平板折叠桌，对数学模型进行检验，绘画出至少八张的动态变化过程的示意图。

5.3.1长方形平板离散化

为了使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，根据客户给定的形状大小，在不改变整体数据的情况下，将数据进行缩小话，对木条宽度进行离散化，以木条的宽度作为步长，对折叠桌的长方形平板的x轴和y轴进行离散化处理，具体表达式如下：

表3：创意平板折叠桌的桌腿长度和开槽长度

木条编号	桌腿长度	开槽长度	木条编号	桌腿长度	开槽长度
1	57.5	0	11	35	19.2658
2	48.8197	3.9194	12	35.3779	18.6477
3	44.7931	6.7983	13	36.0208	17.6193
4	41.9722	9.6006	14	36.9511	16.1850
5	39.8444	12.1461	15	38.2055	14.3540
6	38.2055	14.3540	16	39.8444	12.1461
7	36.9511	16.1850	17	41.9722	9.6006
8	36.0208	17.6193	18	44.7931	6.7983
9	35.3779	18.6477	19	48.8197	3.9194
10	35	19.2658	20	57	0

创意折叠桌的动态示意图如下图10：

六、模型评价与推广

6.1模型优点

1）本模型计算最优设计加工参数考虑稳固性好和用材最小两个目标。

2）结合相关数学三角函数知识进行计算。

6.2模型缺点

1）桌脚的边缘线计算利用木条点的坐标，没有考虑连续性，存在一定误差。

6.3模型推广

本模型给出的模型可以满足客户任意设定的稳固性好、加工方便、用材最少要求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。和生活中生活物品的制作较为相似，主要优点在于对于立体的图形，可以通过建立空间坐标系，将数据简单化，便于计算。本模型适用于大多数工艺设计品的工厂优化设计选取。

七、参考文献

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