c语言 Kruskal 最小生成树 (MST) 算法（Kruskal’s Minimum Spanning Tree (MST) Algorithm）
对于加权、连通、无向图，最小生成树(MST) 或最小权重生成树是权重小于或等于其他所有生成树权重的生成树。
Kruskal算法简介：
在这里，我们将讨论Kruskal 算法来查找给定加权图的 MST。
在 Kruskal 算法中，按升序对给定图的所有边进行排序。然后，如果新添加的边不形成循环，它会继续在 MST 中添加新边和节点。它首先选择最小权重边，最后选择最大权重边。因此，我们可以说它在每一步中都做出局部最优选择以找到最优解。因此，这是一种贪婪算法。
如何使用 Kruskal 算法查找 MST？
以下是使用 Kruskal 算法查找 MST 的步骤：
1.按照权重的非递减顺序对所有边进行排序。
2.选择最小的边。检查它是否与目前形成的生成树形成一个循环。如果没有形成循环，则包括这条边。否则，丢弃它。
3.重复步骤#2，直到生成树中有 (V-1) 条边。
第 2 步使用并查集算法来检测循环。
因此，我们建议先阅读以下文章：
并查表算法 | 集合 1（检测图中的循环）
javascript 不相交集简介（并查集算法）：javascript 不相交集简介（并查集算法）【Introduction to Disjoint Set (Union-Find Algorithm)】-CSDN博客
C# 不相交集简介（并查集算法）：C# 不相交集简介（并查集算法）【Introduction to Disjoint Set (Union-Find Algorithm)】-CSDN博客
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java 不相交集简介（并查集算法）：python 不相交集简介（并查集算法）【Introduction to Disjoint Set (Union-Find Algorithm)】_self.pa = list(range(size)-CSDN博客
c++ 不相交集简介（并查集算法）：c++ 不相交集简介（并查集算法）【Introduction to Disjoint Set (Union-Find Algorithm)】-CSDN博客
并查集算法 | 集合 2（按秩并集和路径压缩）
c语言 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：C语言 并查集算法中的按秩联合和路径压缩（Union By Rank and Path Compression in Union-Find Algorithm）-CSDN博客
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C# 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：C# 并查集算法中的按秩联合和路径压缩（Union By Rank and Path Compression in Union-Find Algorithm）-CSDN博客
python 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：python 并查集算法中的按秩联合和路径压缩（Union By Rank and Path Compression in Union-Find Algorithm）-CSDN博客
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c++ 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：c++ 并查集算法中的按秩联合和路径压缩（Union By Rank and Path Compression in Union-Find Algorithm）-CSDN博客
Kruskal 寻找最小成本生成树的算法采用贪婪方法。贪婪选择是选择迄今为止构建的 MST 中不会引起循环的最小权重边。让我们通过一个例子来理解它：
插图：
下面是上述方法的说明：
输入图：
该图包含 9 个顶点和 14 条边。因此，形成的最小生成树将具有 (9 - 1) = 8 条边。
排序后：
| Weight | Source | Destination |
| 1 | 7 | 6 |
| 2 | 8 | 2 |
| 2 | 6 | 5 |
| 4 | 0 | 1 |
| 4 | 2 | 5 |
| 6 | 8 | 6 |
| 7 | 2 | 3 |
| 7 | 7 | 8 |
| 8 | 0 | 7 |
| 8 | 1 | 2 |
| 9 | 3 | 4 |
| 10 | 5 | 4 |
| 11 | 1 | 7 |
| 14 | 3 | 5 |
现在从排序的边列表中逐一选择所有边
步骤 1：选取边 7-6。未形成循环，将其包括在内。
步骤 2：拾取边 8-2。未形成循环，将其包括在内。
步骤 3：选取边 6-5。未形成循环，将其包括在内。
步骤 4：选取边 0-1。没有形成循环，将其包括在内。
步骤 5：选取边 2-5。未形成循环，将其包括在内。
步骤 6：选择边 8-6。由于包含此边会导致循环，因此将其丢弃。选择边 2-3：未形成循环，因此将其包括在内。
步骤 7：选择边 7-8。由于包含此边会导致循环，因此将其丢弃。选择边 0-7。未形成循环，因此将其包括在内。
步骤 8：选择边 1-2。由于包含此边会导致循环，因此将其丢弃。选择边 3-4。未形成循环，因此将其包括在内。
注意：由于MST中包含的边数等于（V-1），因此算法在此停止
下面是上述方法的实现：
// C code to implement Kruskal's algorithm
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// Comparator function to use in sorting
int comparator(const void* p1, const void* p2)
{
const int(*x)[3] = p1;
const int(*y)[3] = p2;
return (*x)[2] - (*y)[2];
}
// Initialization of parent[] and rank[] arrays
void makeSet(int parent[], int rank[], int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
rank[i] = 0;
}
}
// Function to find the parent of a node
int findParent(int parent[], int component)
{
if (parent[component] == component)
return component;
return parent[component]
= findParent(parent, parent[component]);
}
// Function to unite two sets
void unionSet(int u, int v, int parent[], int rank[], int n)
{
// Finding the parents
u = findParent(parent, u);
v = findParent(parent, v);
if (rank[u] < rank[v]) {
parent[u] = v;
}
else if (rank[u] > rank[v]) {
parent[v] = u;
}
else {
parent[v] = u;
// Since the rank increases if
// the ranks of two sets are same
rank[u]++;
}
}
// Function to find the MST
void kruskalAlgo(int n, int edge[n][3])
{
// First we sort the edge array in ascending order
// so that we can access minimum distances/cost
qsort(edge, n, sizeof(edge[0]), comparator);
int parent[n];
int rank[n];
// Function to initialize parent[] and rank[]
makeSet(parent, rank, n);
// To store the minimun cost
int minCost = 0;
printf(
"Following are the edges in the constructed MST\n");
for (int i = 0; i < n; i++) {
int v1 = findParent(parent, edge[i][0]);
int v2 = findParent(parent, edge[i][1]);
int wt = edge[i][2];
// If the parents are different that
// means they are in different sets so
// union them
if (v1 != v2) {
unionSet(v1, v2, parent, rank, n);
minCost += wt;
printf("%d -- %d == %d\n", edge[i][0],
edge[i][1], wt);
}
}
printf("Minimum Cost Spanning Tree: %d\n", minCost);
}
// Driver code
int main()
{
int edge[5][3] = { { 0, 1, 10 },
{ 0, 2, 6 },
{ 0, 3, 5 },
{ 1, 3, 15 },
{ 2, 3, 4 } };
kruskalAlgo(5, edge);
return 0;
}
输出
以下是构建的 MST 中的边
2 -- 3 == 4
0 -- 3 == 5
0 -- 1 == 10
最小成本生成树：19
时间复杂度： O（E * logE）或O（E * logV）
1.边的排序需要 O(E * logE) 时间。
2.排序后，我们遍历所有边并应用查找并集算法。查找和并集操作最多需要 O(logV) 时间。
3.因此总体复杂度为 O(E * logE + E * logV) 时间。
4.E 的值最多为 O(V 2 )，因此 O(logV) 和 O(logE) 相同。因此，总体时间复杂度为 O(E * logE) 或 O(E*logV)
辅助空间： O（V + E），其中 V 是图中顶点的数量，E 是边的数量。
原文地址：https://blog.csdn.net/hefeng_aspnet/article/details/142527296
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