集合论（ZFC）之 极限序数（Limit Ordinal）
在《自然数》 一文中，提及到极限序数（limit ordinal）概念，本文加以补充。首先，要把握几个基本点。
1. 在集合论（ZFC）中，只有一个类型，叫作 集合（Set）。
2. 集合（Set）中包含了元素（element），即元素与集合间的关系为被包含关系，记 ∈ 。
3. 元素也是集合，因为ZFC只有一个类型，集合。那么，最原生存在的元素就是空集 ∅，由此，派生出以空集为唯一元素的集合 {∅}，通过被包含关系∈，以及ZFC公理定义的集合操作，构建出整个集合论（ZFC）中讨论的集合。
4. 良序集（Well-Ordered Set），当一个集合满足良序的要求，即在满足线序（linear order）要求下，每个子集存在最小的元素，那该集合为良序集。
也就是，对于一个集合，考虑其元素间的关系时，良序有四个条件，其中，前二为偏序的要求，前三为线序的要求，
1. 非自反性（non-reflexivity）：∀s∈S.( s !< s )
2. 良序的传递性（transitivity）：∀p,q,r∈S.(p < q ∧ q < r → p < r)
3. 可比性（Comparability）：∀p,q∈S.(p < q ∨ p = q ∨ q < p)
4. 任意子集都具备最小元素：∀s∈P(S).∃a∈s.∀x∈s.(a < x ∨ a = x)
也就是说，在良序集中，其元素是按照良序关系中的定义，一一排序，且存在最小元素。
5. 同构，由于考虑了集合中的元素及元素间的关系，由此产生了集合的结构的概念。也就是，集合的结构由其元素及元素间的关系所定义。那么，同构的意思，就是两集合的元素及其元素间的关系，一一对应。在函数映射角度上看，即相互一一映射后的元素，保持着元素间的关系。
6. 序数，当一良序集，其元素同时是其子集，且 良序关系（<）为 被包含关系（∈） 时，那该良序集为序数。即 序数的传递性（Transitivity），即 ∀a∈S. (a ⊂ S)。
7. 极限序数，当一个序数，不是后继者，那么该序数为极限序数。
8. 序数，分为 0, 后继者（successor），及 极限序数，三种。
到此，就有很多有趣的结论出来了。
利用形态分析法，可以直观感受到，良序与序数的形态。
基于，上面的描述，
良序的形态为 ⬝ → ⬝ → ⬝ → ⬝ → ⬝ ...
序数的形态为 { ∅∪ { ... {∅∪ { ∅∪ {∅} } } ... } }
空集∅是序数，记为 0。
步进规则，a ∪ { a } 记为 a + 1，同时，可证 a ∪ { a } 与 a 皆为序数。
而步进规则是由序数的传递性决定的。以步进规则得到的序数成为后继者（successor），而不以步进规则得到的序数为极限序数（limit ordinal）。其中，0是一个极限序数。基于0及步进规则得到的所有序数，就有了自然数，记 ℕ。
到此，需要换个角度来思考，那么 ℕ，是不是一个序数，它是否满足序数的要求。有兴趣的读者可以逐条要求一一证明，可证ℕ也是一个序数。其为 ℕ = sup {n: n < ℕ}，即，所有自然数的最小上界。
同时，ℕ 不是由步进规则得到的，那么，ℕ 是一个极限序数。
另外，既然 ℕ 是序数，那么，步进规则应用于 ℕ 上，有 ℕ ∪ { ℕ } = ℕ + 1，也是序数，但是这 ℕ + 1 不是极限序数。
再按照同样的套路，以 ℕ 为基础，通过步进规则，得到所有序数，记为 ℕ + ℕ = ℕ × 2。那么，ℕ × 2 是序数吗？那 ℕ × 3 = ℕ + ℕ + ℕ 呢？如此类推下去，有
0 是极限序数
ℕ 是极限序数
ℕ × n (n ∈ ℕ) 是极限序数
ℕ ^ ℕ 也是极限序数
ℕ ^ ℕ ^ ℕ ... 也是极限序数。
即下图：其中，ω ≡ ℕ
另外，非0极限序数为其元素的序型（Order Type），这里类似类型论中的类型概念。
原文地址：https://blog.csdn.net/sinat_36821938/article/details/142783274
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