C++知识点总结(31)：位运算、进制转换

一、前言

位运算和进制转换都是非常热门的题目。在 CCF CSP-J/S，GESP 初赛的时候有选择题，其中大规模的就是位运算和进制转换。根据近 $10$ 年的调查情况，有接近 $10\%$ 的题目考察位运算，有接近 $30\%$ 的题目考察进制转换。

二、位运算

1. 按位与 &

例题：$(1101101{)}_2\&(101001{)}_2=(0101001{)}_2$

数字1	1	1	0	1	1	0	1
数字2	0	1	0	1	0	0	1
结果	0	1	0	1	0	0	1

技巧：全 $1$ 则 $1$，一 $0$ 则 $0$

2. 按位或 |

例题：$(1101101{)}_2|(101001{)}_2=(1101101{)}_2$

数字1	1	1	0	1	1	0	1
数字2	0	1	0	1	0	0	1
结果	1	1	0	1	1	0	1

技巧：全 $0$ 则 $0$，一 $1$ 则 $1$

3. 按位异或 ^

例题：$(1101101{)}_2$ ^ $(101001{)}_2=(1000100{)}_2$

数字1	1	1	0	1	1	0	1
数字2	0	1	0	1	0	0	1
结果	1	0	0	0	1	0	0

技巧：一 $1$ 则 $1$，否则为 $0$

4. 按位取反 ~

例题：$(1101101{)}_2=(0010010{)}_2$

数字	1	1	0	1	1	0	1
结果	0	0	1	0	0	1	0

技巧：$1$ 则 $0$，否则为 $1$

5. 按位左移 <<

例题：$(1101101{)}_2<<(2)$_$10$ $=(110110100{)}_2$
技巧：左移 $n$ 位就添 $n$ 个 $0$

6. 按位右移 >>

例题：$(1101101{)}_2>>(2)$_$10$ $
技巧：右移 $n$ 位就取前 $n$ 位

三、进制转换

1. 二进制数计算

例 $1$：$(101{)}_2+(11{)}_2=(1000{)}_2$
【解析】
$1+1=2$，满 $2$ 进 $1$，进 $1$ 写 $0$
$0+1+1=2$，满 $2$ 进 $1$，进 $1$ 写 $0$
$1+1=2$，满 $2$ 进 $1$，进 $1$ 写 $0$

---

例 $2$：$(101{)}_2-(11{)}_2=(10{)}_2$
【解析】
$1-1=0$，写 $0$
$0-1$ 不够减，向前借 $1$ 当 $2$，$2-1=1$，写 $1$

---

$2011-$CSP-J：在二进制下，$1010110+x=1100011$，求 $x$。
【解析】
$1-0=1$，写 $1$
$1-1=0$，写 $0$
$0-1$ 不够减，向前借 $1$ 当 $2$，$2-1=1$，写 $1$
$(-1)-0$ 不够减，向前借 $1$ 当 $2$，$2-1=1$，写 $1$
再往前，全部都是 $0$。

2. 十进制转 x 进制

2.1 十进制转二进制

例 $1$：$(12)$_$10$ $=(??{)}_2$
【方法】 不断地用数字除以 $2$，将余数逆序输出
【解析】

操作	结果	余数
$12÷2$	$6$	$0$
$6÷2$	$3$	$0$
$3÷2$	$1$	$1$
$1÷2$	$0$	$1$

所以 $(12)$_$10$ $=(1100{)}_2$

---

例 $2$：$(0.125)$_$10$ $=(??{)}_2$
【方法】 不断用得到的数字乘 $2$，结果超 $0$，那么整数部分变成 $0$，顺序输出
【解析】

操作	结果	取整
$0.125\times 2$	$0.25$	$0$
$0.25\times 2$	$0.5$	$0$
$0.25\times 2$	$1$	$1$

所以 $(0.125)$_$10$ $=(0.001{)}_2$

---

2.2 十进制转八进制

例 $1$：$(15)$_$10$ $=(??{)}_8$
【方法】 不断地用数字乘 $8$，将余数逆序输出
【解析】

操作	结果	余数
$15÷8$	$1$	$7$
$1÷8$	$1$	$1$

所以 $(15)$_$10$ $=(17{)}_8$

---

例 $2$：$(0.625)$_$10$ $=(??{)}_8$
【方法】 不断地用数字除以 $8$，结果超 $0$，那么整数部分变成 $0$，顺序输出
【解析】

操作	结果	取整
$0.625\times 8$	$5.0$	$5$

所以 $(0.625)$_$10$ $=(??{)}_8$

2.3 十进制转十六进制

例题：保留两位小数：$(257.12)$_$10$ $=(??)$_$16$
【方法】 分开算
【解析】

操作	结果	余数/取整
$257÷16$	$16$	$1$
$16÷16$	$1$	$0$
$1÷16$	$0$	$1$
==	==	==
$0.12\times 16$	$1.92$	$1$
$0.92\times 16$	$14.72$	$14$ 即 $D$

3. x 进制转十进制

【方法】 位权展开求和
【解释】 按照每个数位所处的位置所对应的数值乘当前选中的一个数字，求这些结果的和

3.1 二进制转十进制

例题：$(1011.01{)}_2$
方法：
$(1011.01{)}_2=(1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2$^$-1$ $+1\times 2$^$-2$$)$_$10$
$=(8+0+2+1+0+0.25)$_$10$
$=(11.25)$_$10$

3.2 八进制转十进制

例题：$(17.2{)}_8$
方法：
$(17.2{)}_8=(1\times 8^1+7\times 8^0+2\times 8$^$-1$$)$_$10$
$=(8+7+\frac{2}{8})$_$10$
$=(15.25)$_$10$

3.2 十六进制转十进制

例题：$(10F.8)$_$16$
方法：
$(10F.8)$_$16$ $=(1\times 16^2+0\times 16^1+15\times 16^0+8\times 16$^$-1$$)$_$10$
$=(256+0+15+\frac{8}{16})$_$10$
$=(271.5)$_$10$

4. x 进制转 y 进制

4.1 八进制和二进制

熟记下表：

八进制	二进制
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

---

例 $1$：$(245.206{)}_8=(??{)}_2$
方法：

八进制	二进制
2	010
4	100
5	101
.	.
2	010
0	000
6	110

所以，$(245.206{)}_8=(010100101.010000110{)}_2$

---

例 $2$：$(10100101.01000011{)}_2=(??{)}_8$
方法：
第一步，前添零，后添零（整数部分、小数部分的长度添到 $3$ 的倍数）。
$(10100101.01000011{)}_2=(010100101.010000110{)}_2$

第二步，对表。

二进制	八进制
010	2
100	4
101	5
.	.
010	2
000	0
110	6

4.2 十六进制和二进制

熟记下表：

十六进制	二进制	十六进制	二进制
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	10	1010
3	0011	11	1011
4	0100	12	1100
5	0101	13	1101
6	0110	14	1110
7	0111	15	1111

---

例 $1$：$(72.2)$_$16$ $=(??{)}_2$
方法：

十六进制	二进制
7	0111
2	0100
.	.
2	0100

所以，$(72.2)$_$16$ $=(1110100.0100{)}_2$

---

例 $2$：$(1110010.001{)}_2=(??)$_$16$
方法：
第一步，前添零，后添零（整数部分、小数部分的长度添到 $4$ 的倍数）。
$(1110010.001{)}_2=(01110010.0010{)}_2$

第二步，对表。

二进制	十六进制
0111	7
0010	2
.	.
0010	2

所以，$(1110100.0100{)}_2$ $=(72.2)$_$16$

原文地址：https://blog.csdn.net/joe_g12345/article/details/138254385

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