高等数学重难点突破：高阶导数的计算

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本文重点讨论总结面对高阶导数，我们可以使用哪些方法(工具）来解决计算高阶导数问题

方法概述：

四大方法

• 找规律法
• 莱布尼兹求导公式
• 泰勒展开法
• 数学归纳法（主要用于证明大题）

前三种方法用于小题，其中泰勒展开主要用于0点处的n阶导数，其他两种方法用于求n阶导函数
第四种方法主要用于证明大题

方法一：找规律

找规律题主要用于某些简单题
起手第一步其实是化简，就是尽量将复杂的式子，化简为简单的形式。
然后，试着求一阶导，求二阶导…，直到发现某种规律

该方法有两点需要注意的两点：
1.通过记忆常见的高阶导数，来避免找规律，当然了，记忆是有负担的，应掌握记不住现推的能力。

关于常见高阶导数的推导：

通过记忆推导结果加快做题速度

2.在包含三角函数的某些题目中，常常可能会用到诱导公式等三角函数公式，是需要积累的。

方法二：牛顿莱布尼茨公式

该公式特别适用于u和v中其中有一个是多项式函数时，原因在于，多项式有限次求导，导数就会变为0，牛顿莱布尼茨公式本来是无限项，进而变成了有限项，这是一种将无限化为有限的思想。

给出公式：

排列数的计算:

例题:

该例题正常应该是用泰勒公式计算，使用牛顿莱布尼兹公式也是为了体现它在计算该类问题的不方便性。
注意：ln(1+x)的n阶导，我们可以用方法一找规律的结论或者直接找规律，可以说这个问题是方法一和方法二的混合应用，完全可以用方法三泰勒公式解决。

方法三：泰勒公式

记公式很重要！！！

思想:抽象展开和具体展开，对比系数相同。

常用的泰勒公式:

如何记忆泰勒公式？
主要记忆三个，由这三个推一些其他的

主记三个：

记忆口诀：
指对123，正弦135
正对需转换，指正有感叹
解释说明:
指数和对数，分母是123，sinx是135
sin和对数正负要交替，指数和sin分母是阶乘

由这三个可以推导出三个：

ln（1+x)求导得到 1/1+x ，将-x替换为x得到1/1-x
sinx求导得到cosx

再记忆三个三角函数相关的：
$$\begin{gathered} \tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+... \\ \arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5... \\ \arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^2... \end{gathered}$$

补充:数轴法记忆三角函数泰勒展开差值

方法四： 数学归纳法

主要用于证明题
n=0成立
假设第n项成立，证明n+1成立

原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_62613321/article/details/140460656

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