C++ 算法学习——1.8 快速幂算法

背景知识：

1.位运算

在C++中，位运算是对整数类型的位进行操作的一种运算方式。常见的位运算符包括按位与（&）、按位或（|）、按位异或（^）、取反（~）、左移（<<）和右移（>>）等。这些运算符可以用来对整数的二进制表示进行操作，实现一些特定功能。下面是对常见位运算操作的简要解释：

1. 按位与（&）：将两个数的对应位都为1的情况下得到1，否则为0。

   例如：5 & 3 的结果是 1，因为 5 的二进制表示是 101，3 的二进制表示是 011，按位与后得到 001，即 1。

2. 按位或（|）：将两个数的对应位只要有一个为1就得到1，否则为0。

   例如：5 | 3 的结果是 7，因为 5 的二进制表示是 101，3 的二进制表示是 011，按位或后得到 111，即 7。

3. 按位异或（^）：将两个数的对应位相异时得到1，相同时得到0。

   例如：5 ^ 3 的结果是 6，因为 5 的二进制表示是 101，3 的二进制表示是 011，按位异或后得到 110，即 6。

4. 取反（~）：对操作数的每一位取反（0变1，1变0）。

   例如：~5 的结果是 -6，因为 5 的二进制表示是 000...0101，取反后得到 111...1010，这是补码表示，转换为十进制即为 -6。

5. 左移（<<）：将一个数的二进制表示向左移动指定的位数。

   例如：5 << 1 的结果是 10，因为将 5 的二进制表示 101 向左移动一位得到 1010，即 10。

6. 右移（>>）：将一个数的二进制表示向右移动指定的位数。

   例如：5 >> 1 的结果是 2，因为将 5 的二进制表示 101 向右移动一位得到 10，即 2。

 2.快速幂的原理

快速幂算法的基本思想是利用二进制分解来减少运算次数。具体步骤如下：

1. 将指数 n 转化为二进制形式。
2. 从二进制形式的最低位开始，依次检查每一位：
   • 如果该位为 1，则乘以当前的幂值 base。
   • 如果该位为 0，则不进行乘法操作。
3. 每次处理完一位，将底数 base 自乘一次，表示底数的幂次增加一倍。
4. 继续处理下一位，直到处理完所有位。

 举个例子：

计算 3^5，以下是上述抽象过程的演示：

1. 首先，将指数 5 转换为二进制形式：5 的二进制表示为 101。

2. 从二进制形式的最低位开始逐位处理：

   • 初始时，底数为 3，ans为 1。
   • 第一位为 1，ans乘以当前的幂值 3：结果为 3。base自乘一次为9。
   • 第二位为 0，不进行乘法操作，底数自乘一次：底数变为81，ans不动。
   • 第三位为 1，ans乘以当前的底数81,ans变为3×81=243。

其次引入核心问题。

P1. 洛谷p1226快速幂

long long fastPowerMod(long long base, long long exponent, long long c) {
    long long result = 1;
    
    base = base % c;  // Take base mod c to handle large base values
    
    while (exponent > 0) {
        if (exponent & 1) {  // Check if the current bit is 1
            result = (result * base) % c;
        }
        
        base = (base * base) % c;  // Square the base and take mod c
        exponent = exponent >> 1;  // Shift the bits of the exponent to the right
    }
    
    return result;
}

原文地址：https://blog.csdn.net/William_Edmund/article/details/142846695

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