10.8学习笔记
函数与极限
1.函数
1.1 定义
函数f 是从一个集合 X（称为定义域，X包含于实数集R）到另一个集合 Y（称为值域）的映射。对于定义域中的每一个元素 x，函数f都指定了一个唯一的元素 y 在值域中，记作
其中x叫做自变量，y叫做因变量，f叫做映射规则，f(x)表示一个函数值。
1.2函数的特性
函数的特性: 有界性, 单调性,奇偶性,周期性
1.3 反函数
定义
给定一个函数 f:X→Y，如果存在一个函数 g:Y→X，使得对于 X 中的每一个 x，都有 g(f(x))=x，并且对于 Y 中的每一个 y，都有 f(g(y))=y，则称 g 为f 的反函数，记作
2.极限
2.1 数列极限
定义
一个数列 的极限是 L，如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在一个正整数 N，使得对于所有 n>N，都有：
换句话说，当 n 足够大时，数列的项 an可以无限接近L。此时，我们称数列 {an} 收敛于 L，记作：
如果数列不收敛于任何有限值，则称该数列为发散的。
2.2 函数的极限
定义
设函数 f(x) 在点 x=a 的某个去心邻域内有定义(在a处可以没有定义)。如果对于任意给定的正数 ϵ（无论它多么小），总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ 时，有
则称 L 为函数 f(x)当 x 趋近于 a 时的极限，记作
2.3 无穷大与无穷小
2.3.1无穷大
如果对于任意大的正数 M，总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ时，有 ∣f(x)∣>M，则称 f(x)在 x 趋近于 a 时趋向于无穷大，记作
无穷大分为正无穷大和负无穷大。
无穷大加无穷大不确定，因为如果负无穷大加正无穷大不知道为多少；同理无穷大减无穷大也不确定；无穷大除以无穷大也不确定；
无穷大乘无穷大肯定为无穷大。
2.3.2无穷小
如果
或
则称 f(x)在 x 趋近于a或趋近于 时的无穷小。
2.4 无穷大极限
函数 f(x) 当 x趋于无穷大时，如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 ∣x∣>X 时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x 趋于无穷大时的极限是 A。
2.5 极限存在准则
2.5.1 单调有界准则
如果函数 f(x)在某个区间上单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该函数在该区间上必定有极限。
2.5.2 夹逼定理
如果 在
的某个去心邻域内成立，且
则，
3.函数的连续性
3.1 连续性
在某点的连续性：
设函数 f(x)在点 x=a的某个邻域内有定义。
如果
，则称函数 f(x) 在点 x=a 处连续。
左连续：
设函数 f(x) 在点 x=a 的左侧有定义（即存在一个 δ>0，使得 (a−δ,a)内的所有 x 都有定义）。
如果
，则称函数 f(x) 在点 x=a处左连续。
右连续：
设函数 f(x) 在点 x=a 的右侧有定义（即存在一个 δ>0，使得 (a,a+δ)内的所有 x 都有定义）。
如果
，则称函数 f(x)在点 x=a 处右连续。
连续的充要条件
函数连续的充要条件：函数左右连续。
在区间的连续性：
如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 内的每一点都连续，则称函数 f(x)在区间 (a,b) 内连续。
如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 内的每一点都连续，并且在左端点 x=a 处右连续，在右端点 x=b 处左连续，则称函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续。
3.2 不连续点
定义
1.在a处函数极限不存在
2.在a处函数无定义
3.在a处极限不等于函数值
可去不连续点：
如果 存在且有限，但
不存在或
，则称 x=a 是 f(x)的可去不连续点。
3.3 闭区间连续函数性质
零点定理：
设函数 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续，并且 f(a) 和 f(b) 异号（即 f(a)⋅f(b)<0），则存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。
介值定理：
设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，并且 f(a)≠f(b)。对于任意介于 f(a)和 f(b)之间的数 k（即 min(f(a),f(b))<k<max(f(a),f(b))），存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=k。
零点定理与介值定理的关系：
零点定理是介值定理的特例：
-
零点定理可以看作是介值定理在 k=0时的特例。
-
如果 f(a)和 f(b)异号，则 0 介于 f(a) 和 f(b)之间，因此存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。
原文地址：https://blog.csdn.net/Aurora_Cruiser/article/details/142764223
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