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第241题｜ 确定极限中参数问题 | 武忠祥老师每日一题

🕗 发布于 2024-07-10 04:17 算法  

解题思路：确定极限中的参数的方法是求这个极限；求极限根据类型选方法。

 \frac{0}{0} 形可以用到三种方法：洛必达，等价，泰勒。

先观察题目，将xe^{x}看成一个整体，同时e^{-\frac{x^{2}e^{2x}}{2}}=e^{-\frac{(xe^{x})^{2}}{2}},并令xe^{x}=t,整理之后如下：

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{x^{a}}

这里x^{a}也要想办法弄成xe^{x}的形式，例如(xe^{x})^{a},在x趋于0的情况下，(xe^{x})^{a}=x^{a},所以最终可以代换成这样：
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}

判断类型，这同样是一个 \frac{0}{0} 形，在这里有两种方法来解决：

一：洛必达

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t}{at^{a-1}},写到这一步，有人可能想到在加减法中使用等价无穷小，把-sint 换成-t来做，但是这个结论是有条件的：代换之后的数不能等价：

而这里\lim_{}\frac{-t}{te^{-\frac{t^{2}}{2}}}=-1是等价的 ，所以这里不能同价代换。接着洛必达也很麻烦，那接下来怎么做呢？

我们说：有条件要上，没有条件创造条件也要上。这里使用+t -t来构建式子。

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t}{at^{a-1}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t-sint+e^{-\frac{t^{2}}{2}}t-t}{at^{a-1}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t-sint+(e^{-\frac{t^{2}}{2}}-1)t}{at^{a-1}},

分子使用泰勒展开:

t-sint=\frac{1}{6}t^{3}              e^{-\frac{t^{2}}{2}}-1=-\frac{t^{2}}{2};

整理得：

,分子两项显然不等价，可以代换。

要想极限存在，a-1=3，a=4，答案得解。

二：泰勒公式

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{4}}{4!}-(1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{\frac{t^{4}}{4}}{2})+o(t^{4})}{t^{a}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{t^{4}}{4!}-\frac{t^{4}}{8}+o(t^{4})}{t^{a}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{t^{4}}{12}+o(t^{4})}{t^{a}}

a=4;

前面两种是直接法，我们知道选择题还有一种方法是排除法。

三：排除法

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{a}}，分子是偶函数，偶函数在0点的泰勒展开式是偶次项，不可能是奇数项。因为分母要除以一个a次项，所以a只能是偶数，排除B和D。

A选项比较好计算，先看a对不对。将a=2带入到式子中去。

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}

=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-1+1-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}

=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{cost-1}{t^{2}}+\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-e^{-\frac{t^{2}}{2}}}{t^{2}}（注意：这里要拆开不能直接无穷小替换，因为两个替换后的值相除极限为-1，是等价的，为什么前面不用-1+1来做，是因为这里分母的次数是2是确定的，拆开后极限依然存在，所以要拆开。）

=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}

=0

而题目说的是极限不为0，所以A是错的，答案选C

总结知识点：

1.选择题一般是两种方法：一.直接法。二.排除法

2.该题的类型是：确定极限中的参数。

解题方法是求这个极限---求极限要根据类型选方法：

 \frac{0}{0} 形求极限可以用到三种方法：洛必达，等价，泰勒。

3.本题使用的泰勒公式：

sinx = 1-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})

cosx=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+o(x^{4})

e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})

4.常见式子：

x-sinx=\frac{x^{3}}{6}

cosx -1 =-\frac{x^{2}}{2}

e^{x}-1=x

5.常见构建方式：+1-1。+x-x。

6.等价无穷小替换规则：

7.偶函数在0点处的泰勒展开式一定是偶次项。


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